Question

18．如圖，點O是△ABC內的一點，AB=AC，∠BAC=90°，∠BOC=120°，將△AOB繞點A按逆時針方向旋轉90°得到△ADC，連結OD．
（1）求證：△AOD是等腰直角三角形；
（2）求證：∠DCO=30°
（3）設∠AOB=α，那么當α為多少度時，△COD是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據旋轉的性質，得出AD=AO，∠OAD=∠BAC=90°，進而得出△AOD是等腰直角三角形；
（2）根據旋轉的性質可得∠ADC+∠AOC=240°，再根據△AOD是等腰直角三角形，可得∠DOA=90°，最后根據四邊形內角和定理，得出四邊形AOCD中，∠DCO=360°-90°-240°=30°；
（3）分三種情況討論：①若∠COD=∠CDO；②若∠COD=∠OCD；③若∠CDO=∠OCD，分別根據等腰三角形兩個角相等，列出方程進行求解．

解答 解：（1）∵△AOB繞點A按逆時針方向旋轉90°得到△ADC，
∴AD=AO，∠OAD=∠BAC=90°，
∴△AOD是等腰直角三角形；

（2）∵∠BOC=120°，
∴∠BOA+∠AOC=360°-120°=240°，
由旋轉可得，∠AOB=∠ADC，
∴∠ADC+∠AOC=240°，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠DOA=90°，
∴四邊形AOCD中，∠DCO=360°-90°-240°=30°；

（3）由題可得，∠COD=360°-∠AOD-∠α-∠COB=360°-45°-∠α-120°=195°-∠α，
∠CDO=∠ADC-∠ADO=∠α-45°，
∠OCD=180°-∠COD-∠CDO=180°-（195°-∠α）-（∠α-45°）=30°，
①若∠COD=∠CDO，即195°-∠α=∠α-45°，
解得：∠α=120°；
②若∠COD=∠OCD，則195°-∠α=30°，
解得：∠α=165°；
③若∠CDO=∠OCD，即∠α-45°=30°，
解得：∠α=75°；
即當α為120°或165°或75°時，△COD是等腰三角形．

點評 本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，解題時注意：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．解題時注意分類思想的運用．