Question

10．已知A、B、D三點在一條直線上，B、C、E三點在一條直線上，AB=AC，DC=DE．
（1）如圖1，若∠ABC=60°，求證：AD=BE；
（2）如圖2，DE與AC交于點F，BE=2EC，則$\frac{DF}{EF}$=2；
（3）如圖3，點D在AB的延長線上，點E在CB的延長線上，分別延長ED、AC交于點F，AB=1，∠ABC=α，$\frac{DF}{EF}$=k，求BE的長（用a、k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作DH∥AC交BE的延長線于H．首先證明△ABC，△DBH都是等邊三角形，由△DCB≌△DEH，推出BC=EH，推出BE=CH，由BD=BH，BA=BC，推出AD=CH，推出AD=BE．
（2）如圖1中，作DH∥AC交BE的延長線于H．只要證明△DCB≌△DEH，可得BC=EH，推出BE=CH，由BE=2EC，推出CH=2EC，由FC∥DH，推出$\frac{DF}{EF}$=$\frac{CG}{CE}$=2．
（3）如圖1中，作DH∥AC交BE于H，作AG⊥BC于G．由△DHE≌△DBC，推出EH=BC，推出EB=HC，易知BG=CG=AB•cosα=cosα，由DH∥CF，推出$\frac{CH}{CE}$=$\frac{DF}{EF}$=k，推出BE=k•CE，即BE=k•（BE+2cosα），求出BE即可．

解答 （1）證明：如圖1中，作DH∥AC交BE的延長線于H．

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠H，
∴DB=DH，
∵∠B=60°，
∴△ABC，△DBH都是等邊三角形，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠DCB=∠DEH，
在△DCB和△DEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠H}\\{∠DCB=∠DEH}\\{DB=DH}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△DEH，
∴BC=EH，
∴BE=CH，
∵BD=BH，BA=BC，
∴AD=CH，
∴AD=BE．

（2）解：如圖2中，作DH∥AC交BE的延長線于H．

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠H，
∴DB=DH，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠DCB=∠DEH，
在△DCB和△DEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠H}\\{∠DCB=∠DEH}\\{DB=DH}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△DEH，
∴BC=EH，
∴BE=CH，
∵BE=2EC，
∴CH=2EC，
∵FC∥DH，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{CG}{CE}$=2，
故答案為2．
（3）解：如圖3中，作DH∥AC交BE于H，作AG⊥BC于G．

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠DHC=∠DBH，
∴DH=DB，∠EHD=∠DBC，
∵DE=DC，
∴∠E=∠DCB，
在△DHE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠DCB}\\{∠DHE=∠DBC}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△DHE≌△DBC，
∴EH=BC，
∴EB=HC，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴BG=CG=AB•cosα=cosα，
∵DH∥CF，
∴$\frac{CH}{CE}$=$\frac{DF}{EF}$=k，
∴BE=k•CE，
∴BE=k•（BE+2cosα），
∴BE=$\frac{2kcosα}{1-k}$．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、平行線分線段成比例定理、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．