Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，CE平分∠ACB，交AB于點E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）求證：△PCE是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）依據切線的性質可知OC⊥DC，然后可證明AD∥OC，依據平行線的性質可得到∠DAC=∠ACO，然后依據OA=OC可證明∠OAC=∠ACO，通過等量代換可證明AC平分∠DAB；
（2）依據直徑所對的圓周角等于90°可證明∠ACB=90°，然后依據同角的余角相等可證明∠DAC=∠BCP，由（1）可知AC平分∠DAB，從而得到∠CAE=∠BCP，然后結合∠ACE=∠ECB可證明∠PCE=∠PEC．

解答 解：（1）如圖1所示：連接OC．

∵PD切⊙O于點C，
∴OC⊥PD．
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO=∠DAC．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB． 

（2）∵AD⊥PD，

∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠CAO+∠ACE=∠PCB+∠BCE，
∴∠PEC=∠PCE，
∴PC=PE，
即△PCE是等腰三角形．

點評 本題主要考查的是切線的性質、圓周角定理的應用，等腰三角形的性質、三角形外角的性質，掌握有關切線問題的輔助線的作法是解題的關鍵．