Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是邊BC的中點，過D作DE∥AB于E，連接BE交AD于D；過D₁，作D₁E₁∥AB于E₁，連接BE₁交AD于D₁，過D₂作D₂E₂∥AB于E₂，…，如此繼續，記S_△BDE為S₁，S${\;}_{△B{D}_{1}{E}_{1}}$記為S₂，S${\;}_{△B{D}_{2}{E}_{2}}$記為S₃，…，若S_△ABC面積為1，則S₂=$\frac{1}{9}$；S_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$（用含n代數式表示）．

Answer 1

分析 根據D是邊BC的中點，過D作DE∥AB，得到E為AC的中點，BE⊥AC，設△ABC的高是h，根據三角形的面積公式求出S₁=$\frac{1}{4}$，S₂=$\frac{1}{9}$，得出規律，即可得出結果．

解答 解：∵D是邊BC的中點，DE∥AB，
∴E為AC的中點，BE⊥AC，
設△ABC的高是h，
過E作EM⊥BC于M，
∵BD=DC，DE∥AB，
∴AE=EC，
∵AD⊥BC，EM⊥BC，
∴AD∥EM，
∴DM=MC，
∴EM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$h，
∴S₁=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$BC•$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$，
∵DE∥AB，D₁E₁∥AB，
∴$\frac{B{D}_{1}}{{D}_{1}E}=\frac{AB}{DE}$=2=$\frac{A{E}_{1}}{{E}_{1}E}$，
∴S₂=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$AE•h-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$AE•$\frac{1}{3}$h=$\frac{1}{9}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$，
同理S₃=$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{{4}^{2}}$，…
S_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
故答案為：$\frac{1}{9}$；$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．

點評 本題主要考查對三角形的面積，平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形的中位線定理等知識點的理解和掌握，能根據求出的結果找出規律是解此題的關鍵．