Question

5．如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦AC、BD相交于點E，且C為弧BD的中點．若EC=2，tan∠CEB=2．
（1）求證：△ABE∽△DCE，并求出BE的長；
（2）求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理得出∠A=∠D，∠B=∠C，即可得出△ABE∽△DCE；連接BC，由圓周角定理得出∠ACB=90°，由三角函數定義得出BC=2EC=4，由勾股定理求出BE即可；
（2）由已知得出$\widehat{DC}=\widehat{BC}$，得出DC=BC=4，由相似三角形的性質得出$\frac{DC}{AB}=\frac{EC}{EB}$，求出AB=4$\sqrt{5}$，得出AO=2$\sqrt{5}$，由圓的面積公式即可得出結果．

解答 （1）證明：∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△ABE∽△DCE；
連接BC，如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠CEB=$\frac{BC}{CE}$=2，
∴BC=2EC=4，
∴BE=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（2）解：∵C為弧BD的中點，
∴$\widehat{DC}=\widehat{BC}$，
∴DC=BC=4，
∵△ABE∽△DCE，
∴$\frac{DC}{AB}=\frac{EC}{EB}$，即$\frac{4}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴AB=4$\sqrt{5}$，
∴AO=2$\sqrt{5}$，
∴⊙O的面積=π•（2$\sqrt{5}$）²=20π．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、圓的面積公式；熟練掌握圓周角定理，證明三角形相似是解決問題的關鍵．