Question

（9分）（2014•昆明）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P從A點出發，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點Q從B點出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，當△PBQ存在時，求運動多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？
（3）當△PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在點K，使S_△CBK：S_△PBQ=5：2，求K點坐標．

Answer 1

（1）y=x²﹣x﹣3
（2）運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是
（3）K₁（1，﹣），K₂（3，﹣）

解析試題分析：（1）把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，列出關于系數a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；
（2）設運動時間為t秒．利用三角形的面積公式列出S_△PBQ與t的函數關系式S_△PBQ=﹣（t﹣1）²+．利用二次函數的圖象性質進行解答；
（3）利用待定系數法求得直線BC的解析式為y=x﹣3．由二次函數圖象上點的坐標特征可設點K的坐標為（m，m²﹣m﹣3）．
如圖2，過點K作KE∥y軸，交BC于點E．結合已知條件和（2）中的結果求得S_△CBK=．則根據圖形得到：S_△CBK=S_△CEK+S_△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m），把相關線段的長度代入推知：﹣m²+3m=．易求得K₁（1，﹣），K₂（3，﹣）．
解：（1）把點A（﹣2，0）、B（4，0）分別代入y=ax²+bx﹣3（a≠0），得
，
解得 ，
所以該拋物線的解析式為：y=x²﹣x﹣3；
（2）設運動時間為t秒，則AP=3t，BQ=t．
∴PB=6﹣3t．
由題意得，點C的坐標為（0，﹣3）．
在Rt△BOC中，BC==5．
如圖1，過點Q作QH⊥AB于點H．

∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴=，即=，
∴HQ=t．
∴S_△PBQ=PB•HQ=（6﹣3t）•t=﹣t²+t=﹣（t﹣1）²+．
當△PBQ存在時，0＜t＜2
∴當t=1時，
S_△PBQ最大=．
答：運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是；
（3）設直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．
把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得
，
解得 ，
∴直線BC的解析式為y=x﹣3．
∵點K在拋物線上．
∴設點K的坐標為（m，m²﹣m﹣3）．
如圖2，過點K作KE∥y軸，交BC于點E．則點E的坐標為（m，m﹣3）．

∴EK=m﹣3﹣（m²﹣m﹣3）=﹣m²+m．
當△PBQ的面積最大時，∵S_△CBK：S_△PBQ=5：2，S_△PBQ=．
∴S_△CBK=．
S_△CBK=S_△CEK+S_△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m）
=×4•EK
=2（﹣m²+m）
=﹣m²+3m．
即：﹣m²+3m=．
解得 m₁=1，m₂=3．
∴K₁（1，﹣），K₂（3，﹣）．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數法求二次函數解析式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意該點的運動范圍，即自變量的取值范圍．