Question

6．如圖，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，若將△ABC翻折，且點C落在AB邊上點D處，折痕EF分別交邊AC，BC于點E和點F，過點D作DK⊥AB，交射線AC于點K．
（1）求證：△DEK∽△DFB．
（2）當點K在線段AC上時，若CD=$\sqrt{10}$時，試求AK的長．
（3）若點K為EC中點時，試求AD的值．

Answer 1

分析 （1）根據等腰直角三角形的性質、翻轉變換的性質證明∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB即可；
（2）作CH⊥AB于H，根據直角三角形的性質求出AH、BH、CH，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；
（3）根據△DEK∽△DFB、等腰直角三角形的性質列出比例式，計算即可．

解答 （1）證明：由折疊可得：∠EDF=∠ACB=90°，∠DFE=∠CFE．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵DK⊥AB，
∴∠ADK=∠BDK=90°，
∴∠AKD=45°，∠EDF=∠KDB=90°，
∴∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB，
∴△DEK∽△DFB；

（2）解：作CH⊥AB于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴CH=AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴DH=$\sqrt{C{D}^{2}-C{H}^{2}}$=1，
∴AD=AH-DH=2，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=6，
∴AC=3$\sqrt{2}$，
∵DK⊥AB，CH⊥AB，
∴DK∥CH，
∴$\frac{AK}{AC}$=$\frac{AD}{AH}$，即$\frac{AK}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2}{3}$，
解得，AK=2$\sqrt{2}$；

（3）解：∵△DEK∽△DFB，
∴$\frac{DK}{BD}$=$\frac{EK}{BF}$，
∵K為EC中點，
∴$\frac{BF}{DF}$=$\frac{EK}{ED}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=$\sqrt{2}$，
設AD=DK=x，
則AK=$\sqrt{2}$x，CK=EK=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x，BD=6-x，
∴$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}x}{\sqrt{2}}$=$\frac{x}{6-x}$，
解得，x₁=5-$\sqrt{7}$，x₂=5+$\sqrt{7}$（舍去），
答：AD的值為5+$\sqrt{7}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、翻轉變換的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．