Question

14．已知：T是直線y=x+3上的動點，設其橫坐標為t，拋物線y=x²-tx-t-3的頂點為P．
（1）求證：直線和拋物線有兩個交點．
（2）若T向上運動時，P也向上運動，求t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，設直線和拋物線交于A，B兩點，且B在y軸的右側，求A，B兩點到y軸的距離之和d的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}-tx-t-3}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-（t+1）x-t-6=0，只要證明△＞0即可．
（2）求出拋物線的頂點P的坐標（$\frac{t}{2}$，$\frac{-4t-12-{t}^{2}}{4}$），所以頂點縱坐標y_P=-$\frac{1}{4}$t²+t-3=-$\frac{1}{4}$（t+2）²-2，-$\frac{1}{4}$＜0，t≤-2時，y_P隨t的增加而增加，由此不能解決問題．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）可知，x₁，x₂是方程x²-（t+1）x-t-6=0的兩根，推出x₁+x₂=t+1，x₁x₂=-t-6，推出A，B兩點到y軸的距離之和d=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（t+1）^{2}+4t+24}$=$\sqrt{（t+3）^{2}+16}$，再求出t的范圍，即可解決問題．

解答 （1）證明：由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}-tx-t-3}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-（t+1）x-t-6=0，
∵△=（t+1）²+4t+24=（t+3）²+16，
∵（t+3）²≥0，
∴△＞0，
∴直線和拋物線有兩個交點．

（2）∵拋物線的頂點P的坐標（$\frac{t}{2}$，$\frac{-4t-12-{t}^{2}}{4}$）．
∴y_P=-$\frac{1}{4}$t²+t-3=-$\frac{1}{4}$（t+2）²-2，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，∴開口向下，
t≤-2時，y_P隨t的增加而增加，
∴T向上運動時，P也向上運動時t的取值范圍為t≤-2．

（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可知，x₁，x₂是方程x²-（t+1）x-t-6=0的兩根．
∴x₁+x₂=t+1，x₁x₂=-t-6，
∴A，B兩點到y軸的距離之和d=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（t+1）^{2}+4t+24}$=$\sqrt{（t+3）^{2}+16}$，
∵t≤-2，B在y軸的右側，x₁+x₂＜0，
∴x₁x₂＜0，
∴-t-6＜0，
∴t＞-6，
∴-6＜t≤-2，
∴t=-2時，d有最小值，最小值為$\sqrt{17}$，
∵t=-6時，d=5
∴$\sqrt{17}$≤d＜5．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、一元二次方程的根與系數關系等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉化的思想思考問題，學會構建二次函數解決實際問題，屬于中考壓軸題．