Question

17．矩形ABCD中，AB=6，以AB為直徑在矩形內作半圓，與DE相切于點E（如圖），延長DE交BC于F，若BF=$\sqrt{3}$，則陰影部分的面積為9$\sqrt{3}$-3π．

Answer 1

分析 連接OF、OE、OD，如圖，在Rt△OBF中利用三角函數的定義求出∠OFB=60°，再利用切線的性質和切線長定理得到∠OFE=∠OFB=60°，OE⊥DF，所以∠BFE=120°，則∠ADE=60°，同樣可得∠ADO=∠EDO=30°，利用含30度的直角三角形三邊的關系求出AD=$\sqrt{3}$OA=3$\sqrt{3}$，所以S_△ADO=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$；接著計算出∠AOE=120°，于是得到S_扇形AO=3π，然后利用陰影部分的面積=四邊形AOED的面積-扇形AOE的面積進行計算即可．

解答 解：連接OF、OE、OD，如圖，
在Rt△OBF中，∵tan∠OFB=$\frac{OB}{BF}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OFB=60°，
∵BF⊥AB，
∴BF為切線，
∵DF為切線，
∴∠OFE=∠OFB=60°，OE⊥DF，
∴∠BFE=120°，
∵BC∥AD，
∴∠ADE=60°，
∵AD⊥AB，
∴AD為切線，
而DE為切線，
∴∠ADO=∠EDO=30°，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{3}$OA=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ADO=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$；
∵∠AOE=180°-∠ADE=120°，
∴S_扇形AOE=$\frac{120•π•{3}^{2}}{360}$=3π，
∴陰影部分的面積=四邊形AOED的面積-扇形AOE的面積=2×$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-3π=9$\sqrt{3}$-3π．
故答案為9$\sqrt{3}$-3π．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了切線長定理．