Question

6．如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，以BC為邊作△DBC，使DC=DB，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AD于點(diǎn)E，連接BE交CD于點(diǎn)M．
（1）若∠A=45°，∠CDA=30°，AC=2，求BD的長(zhǎng)；
（2）求證：BM=3EM．

Answer 1

分析 （1）作等腰三角形的高線DF，先由三線合一的性質(zhì)得：CF=BF=1，再由垂直和∠A=45°，得△ECA和△AFD是等腰直角三角形，則DF=3，根據(jù)勾股定理求BD的長(zhǎng)；
（2）作輔助線，構(gòu)建平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)角線互相平分和直角三角形斜邊上的中線可得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)D作DF⊥AB于F，
∵DC=DB，
∴CF=BF=$\frac{1}{2}$BC，
∵C是AB的中點(diǎn)，AC=2，
∴BC=AC=2，
∴CF=BF=1，
∵CE⊥AB
∴∠ECA=90°，
∵∠A=45°，
∴△ECA和△AFD是等腰直角三角形，
∴EC=AC=2，AF=DF=2+1=3，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（2）如圖2，取BE的中點(diǎn)G，連接CG、DG，延長(zhǎng)DG交AB于F，
在Rt△ECB中，CG=BG=EG=$\frac{1}{2}BE$，
在△DCG和△DBG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{DG=DG}\\{CG=BG}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△DBG（SSS），
∴∠CDF=∠BDF，
∴DF⊥BC，
∵EC⊥BC，
∴EC∥DG，
∵C是AB的中點(diǎn)，G是BE的中點(diǎn)，
∴CG是△AEB的中位線，
∴CG∥AD，
∴四邊形ECGD是平行四邊形，
∴EM=MG，
∴BM=3EM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，屬于基礎(chǔ)題，注意第一問(wèn)中的結(jié)論第二問(wèn)不能直接運(yùn)用，第二問(wèn)作輔助線構(gòu)建平行四邊形是關(guān)鍵．