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20.如圖所示,平面直角坐標系中,△ABC的邊AB在x軸上,∠C=60°,AC交y軸于點E,AC,BC的長是方程x2-16x+64=0的兩個根且OA:OB=1:3,請解答下列問題:
(1)求點C的坐標;
(2)求直線EB的解析式;
(3)在x軸上是否存在點P,使△BEP為等腰三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標,若不存在,請說明理由.

分析 (1)解方程x2-16x+64=0,可得到AC=BC=8,進而證得△ABC是等邊三角形,得到AB=8,再由OA:OB=1:3,得到OA、OB的長,從而求得A、B的坐標即可求得C的坐標;
(2)應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式,從而求得E的坐標,然后再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線EB的解析式;
(3)可設(shè)P點坐標為(x,0),則可表示出BP、EP,且可求得BE的長,當(dāng)△BEP為等腰三角形時,則有BP=EP、BP=BE和EP=BE三種情況,可分別得到關(guān)于x的方程,可求得x的值,則可求得P點坐標.

解答 解:
(1)解方程x2-16x+64=0得x1=8,x2=8,
∴AC=BC=8,
∵∠A=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴AB=8,
∵OA:OB=1:3,
∴AO=2,OB=6,
過點C作CH⊥x軸于點H,則AH=$\frac{1}{2}$AB=4,CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$,
∴OH=AH-AO=4-2=2,
∴C(2,4$\sqrt{3}$);
(2)設(shè)直線AE解析式為y=kx+b(k≠0),把A(-2,0)、C(2,4$\sqrt{3}$)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$,
∴直線AC的解析式為y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$,
令x=0可得y=2$\sqrt{3}$,
∴E(0,2$\sqrt{3}$),
∵B(6,0),
設(shè)直線BE的解析式為y=rx+s,
∴$\left\{\begin{array}{l}{6r+s=0}\\{s=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{r=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{s=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$,
∴直線BE的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$;
(3)設(shè)P點坐標為(x,0),
∵B(6,0),E(0,2$\sqrt{3}$),
∴BE=$\sqrt{{6}^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}$=4$\sqrt{3}$,BP=|x-6|,PE=$\sqrt{{x}^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+12}$,
若△BEP為等腰三角形,則有BP=EP、BP=BE和EP=BE三種情況,
①當(dāng)BP=EP時,則|x-6|=$\sqrt{{x}^{2}+12}$,解得x=2,此時P點坐標為(2,0);
②當(dāng)BP=BE時,則4$\sqrt{3}$=|x-6|,解得x=6+4$\sqrt{3}$或x=6-4$\sqrt{3}$,此時P點坐標為(6+4$\sqrt{3}$,0)或(6-4$\sqrt{3}$,0);
③當(dāng)EP=BE時,則$\sqrt{{x}^{2}+12}$=4$\sqrt{3}$,解得x=6或x=-6,當(dāng)x=6時,點E和點B重合,不合題意,舍去,
∴x=-6,此時P點坐標為(6,0);
綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標為(2,0)或(6+4$\sqrt{3}$,0)或(6-4$\sqrt{3}$,0)或(6,0).

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及一元二次方程、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識.在(1)中求得OA、OB的長是解題的關(guān)鍵,在(2)中求得E點坐標是解題的關(guān)鍵,在(3)中用P點的坐標分別表示出BP和EP的長是解題的關(guān)鍵,注意分三種情況.本題考查知識點較多,綜合性較強,難度適中.

練習(xí)冊系列答案
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