Question

20．如圖所示，平面直角坐標系中，△ABC的邊AB在x軸上，∠C=60°，AC交y軸于點E，AC，BC的長是方程x²-16x+64=0的兩個根且OA：OB=1：3，請解答下列問題：
（1）求點C的坐標；
（2）求直線EB的解析式；
（3）在x軸上是否存在點P，使△BEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-16x+64=0，可得到AC=BC=8，進而證得△ABC是等邊三角形，得到AB=8，再由OA：OB=1：3，得到OA、OB的長，從而求得A、B的坐標即可求得C的坐標；
（2）應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式，從而求得E的坐標，然后再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線EB的解析式；
（3）可設(shè)P點坐標為（x，0），則可表示出BP、EP，且可求得BE的長，當(dāng)△BEP為等腰三角形時，則有BP=EP、BP=BE和EP=BE三種情況，可分別得到關(guān)于x的方程，可求得x的值，則可求得P點坐標．

解答 解：
（1）解方程x²-16x+64=0得x₁=8，x₂=8，
∴AC=BC=8，
∵∠A=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=8，
∵OA：OB=1：3，
∴AO=2，OB=6，
過點C作CH⊥x軸于點H，則AH=$\frac{1}{2}$AB=4，CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$，
∴OH=AH-AO=4-2=2，
∴C（2，4$\sqrt{3}$）；
（2）設(shè)直線AE解析式為y=kx+b（k≠0），把A（-2，0）、C（2，4$\sqrt{3}$）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
令x=0可得y=2$\sqrt{3}$，
∴E（0，2$\sqrt{3}$），
∵B（6，0），
設(shè)直線BE的解析式為y=rx+s，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6r+s=0}\\{s=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{r=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{s=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BE的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$；
（3）設(shè)P點坐標為（x，0），
∵B（6，0），E（0，2$\sqrt{3}$），
∴BE=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，BP=|x-6|，PE=$\sqrt{{x}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+12}$，
若△BEP為等腰三角形，則有BP=EP、BP=BE和EP=BE三種情況，
①當(dāng)BP=EP時，則|x-6|=$\sqrt{{x}^{2}+12}$，解得x=2，此時P點坐標為（2，0）；
②當(dāng)BP=BE時，則4$\sqrt{3}$=|x-6|，解得x=6+4$\sqrt{3}$或x=6-4$\sqrt{3}$，此時P點坐標為（6+4$\sqrt{3}$，0）或（6-4$\sqrt{3}$，0）；
③當(dāng)EP=BE時，則$\sqrt{{x}^{2}+12}$=4$\sqrt{3}$，解得x=6或x=-6，當(dāng)x=6時，點E和點B重合，不合題意，舍去，
∴x=-6，此時P點坐標為（6，0）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（2，0）或（6+4$\sqrt{3}$，0）或（6-4$\sqrt{3}$，0）或（6，0）．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及一元二次方程、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中求得OA、OB的長是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得E點坐標是解題的關(guān)鍵，在（3）中用P點的坐標分別表示出BP和EP的長是解題的關(guān)鍵，注意分三種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．