Question

12．如圖△PAB中，PA=PB，PB為⊙O的切線，B為切點，連接OP交AB于點C，延長BO與⊙O交于點D、與PA的延長線交于點E
（1）求證：PA與⊙O相切；
（2）若tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAO=90°，證明△PBO≌△PAO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠PBO=∠PAO=90°，證明結(jié)論；
（2）連接AD，設OC=x，根據(jù)正切的概念用x表示出BC、AD、OB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BE、PE，根據(jù)正弦的概念計算即可．

解答 證明：（1）連接OA，
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB，
∴BC=CA，PB=PA，
在△PBO和△PAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{PB=PA}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，即PA與⊙O相切；
（2）連接AD，
∵tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，
∴設OC=x，BC=CA=2x，AD=2OC=2x，OB=OD=$\sqrt{5}$x，
∵∠ABE=∠OPB，
∴tan∠OPB=$\frac{1}{2}$，
∴CP=4x，OP=x+4x=5x，
∵△ADE∽△POE，
∴DE=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$x，BE=$\frac{{8\sqrt{5}}}{3}$x，BP=$2\sqrt{5}$x，PE=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$x，
∴sinE=$\frac{BP}{PE}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、正切的概念、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關鍵．