Question

7．斐波那契（約1170-1250，意大利數學家）數列是按某種規律排列的一列數，他發現該數列中的每個正整數都可以用無理數的形式表示，如第n（n為正整數）個數a_n可表示為$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]．
（1）計算第一個數a₁；
（2）計算第二個數a₂；
（3）證明連續三個數之間a_n-1，a_n，a_n+1存在以下關系：a_n+1-a_n=a_n-1（n≥2）；
（4）寫出斐波那契數列中的前8個數．

Answer 1

分析 （1）（2）代入計算即可求解；
（3）根據乘法分配律即可證明：a_n+1-a_n=a_n-1（n≥2）；
（4）根據（3）的關系可求斐波那契數列中的前8個數．

解答 解：（1）a₁=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）]=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\sqrt{5}$=1；

（2）a₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）²]=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\sqrt{5}$=1；

（3）證明：a_n+1-a_n=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺¹-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺¹]-$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺¹-（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]-$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺¹-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$-1）]-$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$-1）]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）]-$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ（-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）^n-1-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）^n-1]；

（4）斐波那契數列中的前8個數是1，1，2，3，5，8，13，21．

點評 此題考查了二次根式的應用，關鍵是熟悉斐波那契數列的規律．