Question

把1～12這12個自然數填入圖中的小圓內，每個數都要用到，且每邊上的四個數的和相等，求這個和的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）假設四個角上的數是a、b、c、d，每條邊上三個數的和是k，則有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+a+b+c+d=4k，78+a+b+c+d=4k，[78+（a+b+c+d）]÷4=k，k是整數，所以要使這個和最小，則a、b、c、d，必須分別為1、2、3、4這時a+b+c+d=1+2+3+4=10，此時k=（78+10）÷4=22；
（2）要使這個和最大，a、b、c、d，必須分別為9、10、11、12、這時a+b+c+d=9+10+11+12=42，k=（78+42）÷4=120÷4=30．

解答：解：（1）設四個角上的數是a、b、c、d，每條邊上三個數的和是k，
則，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+a+b+c+d=4k，78+a+b+c+d=4k，[78+（a+b+c+d）]÷4=k，k是整數，
所以要使這個和最小，則a、b、c、d，必須分別為1、2、3、4，
a+b+c+d=1+2+3+4=10，
此時k=（78+10）÷4=22；

（2）當a、b、c、d，分別為9、10、11、12、這時a+b+c+d=9+10+11+12=42，
k=（78+42）÷4=120÷4=30；
此時k的值最大，

答：這個和的最小值是22；最大值是30．

點評：解答此類問題時，要善于確定所求的和與關鍵數字間的關系，此題的關鍵數字是四個角上的數．