Question

附加題：把1～999這999個自然數按順時針的方向依次排列在一個圓圈上（如圖）．從1開始按順時針的方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4…這樣每隔一個數擦去一個數，轉圈擦下去．問：最后剩下一個數時，剩下的是哪個數？

Answer 1

分析：如果依照題意在上圖中進行操作，直到剩下一個數為止，實在是很困難的．我們還應從最簡單的情況入手分析，歸納出解決問題的規律，再用此規律解題．
如果是2個數1，2，最后剩下1；如果是3個數1，2，3，最后剩下3；如果是4個數1，2，3，4，最后剩下1；如果是5個數1，2，3，4，5，最后剩下3；如果是6個數1，2，3，4，5，6，最后剩下5；如果是1-7，7個數，最后剩下7；如果是1-8，8個數，最后剩下1．發現當數的個數是2，4，8時，最后剩下的都是1．實際上，當數的個數為2ⁿ時（n≥2），當擦完一圈后還剩2^n-1個數，把問題化成2^n-1個數的情況．不斷作下去，最后化為2個數的情況，顯然最后剩下的數為1（1為起始數）．

解答：解：由于2⁹=512，2¹⁰=1024，2⁹＜999＜2¹⁰，
999-512=487．
這就是說，要剩2⁹個數，需要先擦去487個數．按題意，每兩個數擦去一個數，當擦第487個數時，最后擦去的數是：487×2=974．
下一個起始數是974，所以，最后剩下的數應是974．
答：最后剩下的數是974．

點評：這類題目有一定的規律：如果數的個數是2ⁿ（n是自然數）個數，那么劃一圈剩下2^n-1個數，劃兩圈剩下2^n-2個數，…劃n-1圈，就剩兩個數，再劃一圈就是剩下安全的數．