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32.(2009四川卷理)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)。

(I)求函數(shù)的定義域，并判斷的單調(diào)性；

(II)若

(III)當(dāng)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，設(shè)，若函數(shù)的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的極值。

本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列的極限、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)、考查分類整合思想、推理和運(yùn)算能力。

解：(Ⅰ)由題意知

當(dāng)

當(dāng)

當(dāng)….(4分)

(Ⅱ)因?yàn)?sub>

由函數(shù)定義域知>0,因?yàn)閚是正整數(shù)，故0<a<1.

所以 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

(Ⅲ)

令

①　　 當(dāng)m=0時(shí)，有實(shí)根，在點(diǎn)左右兩側(cè)均有故無(wú)極值

②　　 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根

當(dāng)x變化時(shí)，、的變化情況如下表所示：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

的極大值為，的極小值為

③　　 當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)有一個(gè)實(shí)根，

同上可得的極大值為

綜上所述，時(shí)，函數(shù)有極值；

當(dāng)時(shí)的極大值為，的極小值為

當(dāng)時(shí)，的極大值為 　　　

31.(2009天津卷理)(本小題滿分12分)

　　 　已知函數(shù)其中

(1)　　　 當(dāng)時(shí)，求曲線處的切線的斜率； 　　

(2)　　　 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。 　　

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。

(I)解：

(II) 　　　

以下分兩種情況討論。

(1)＞，則＜.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

(2)＜，則＞，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

30.(2009湖南卷理)(本小題滿分13分)

某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬(wàn)元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為萬(wàn)元。

　 (Ⅰ)試寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

　 (Ⅱ)當(dāng)=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使最小？

解 (Ⅰ)設(shè)需要新建個(gè)橋墩，

所以　

　　 (Ⅱ)　 由(Ⅰ)知，

　 令，得，所以=64 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

　 當(dāng)0<<64時(shí)<0，　 在區(qū)間(0，64)內(nèi)為減函數(shù)； 　　　　　

當(dāng)時(shí)，>0. 在區(qū)間(64，640)內(nèi)為增函數(shù)，

所以在=64處取得最小值，此時(shí)，

故需新建9個(gè)橋墩才能使最小。

29.(2009寧夏海南卷文)(本小題滿分12分)

已知函數(shù).

(1)　　 設(shè)，求函數(shù)的極值；

(2)　　 若，且當(dāng)時(shí)，12a恒成立，試確定的取值范圍.

請(qǐng)考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑。 　　　　　

(21)解：

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

　　　 令 　　　　　　

列表討論的變化情況：

			(-1，3)	3
	+	0	-	0	+
		極大值6		極小值-26

所以，的極大值是，極小值是

(Ⅱ)的圖像是一條開(kāi)口向上的拋物線，關(guān)于x=a對(duì)稱.

若上是增函數(shù)，從而 　　　　　

上的最小值是最大值是

由于是有 　　　　　

由

所以 　　　　　　

若a>1,則不恒成立.

所以使恒成立的a的取值范圍是 　　　　　　

28.(2009湖北卷文)(本小題滿分14分) 　　

　　　　　 已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝+bx²+cx+bc,其導(dǎo)函數(shù)為f⁺(x).令g(x)＝∣f⁺(x) ∣,記函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M.

　 (Ⅰ)如果函數(shù)f(x)在x＝1處有極值-，試確定b、c的值：

　 (Ⅱ)若∣b∣>1,證明對(duì)任意的c,都有M>2: 　　　

　 (Ⅲ)若M≧K對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值。

本小題主要考察函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力和份額類討論的思想(滿分14分)

(I)解：，由在處有極值

可得

解得或

若，則，此時(shí)沒(méi)有極值；

若，則

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

				1
		0	+	0
		極小值		極大值

當(dāng)時(shí)，有極大值，故，即為所求。

(Ⅱ)證法1：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外。

在上的最值在兩端點(diǎn)處取得

故應(yīng)是和中較大的一個(gè)

即

證法2(反證法)：因?yàn)?sub>，所以函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外，

在上的最值在兩端點(diǎn)處取得。

故應(yīng)是和中較大的一個(gè)

假設(shè)，則

　　　 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

將上述兩式相加得：

，導(dǎo)致矛盾，

(Ⅲ)解法1：

(1)當(dāng)時(shí)，由(Ⅱ)可知；

(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù))的對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi)， 　　

此時(shí)

由有

①若則，

于是

②若，則

于是

綜上，對(duì)任意的、都有

而當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值

故對(duì)任意的、恒成立的的最大值為。

解法2：

(1)當(dāng)時(shí)，由(Ⅱ)可知； 　　

(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi)，

此時(shí)

，即

下同解法1

27.(2009四川卷文)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是。

(I)求函數(shù)的解析式；

(II)設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值.

[解析](I)由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有,即……①

又，由已知得……②

聯(lián)立①②，解得.

所以函數(shù)的解析式為　　 …………………………………4分

(II)因?yàn)?sub> 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

令

當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則，方程有實(shí)數(shù)解，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由，得.

①當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無(wú)極值

②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根情況如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以在時(shí)，函數(shù)有極值；

當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值；

　 …………………………………12分

26.(2009陜西卷理)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)，其中

若在x=1處取得極值，求a的值；21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)若的最小值為1，求a的取值范圍。　　

解(Ⅰ)

∵在x=1處取得極值，∴解得

(Ⅱ)

∵　　 ∴

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間∴的單調(diào)增區(qū)間為

②當(dāng)時(shí)，

由

∴

(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，由(Ⅱ)①知，

當(dāng)時(shí)，由(Ⅱ)②知，在處取得最小值

綜上可知，若得最小值為1，則a的取值范圍是

25.(2009陜西卷文)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)

求的單調(diào)區(qū)間；

若在處取得極值，直線y=my與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍。

21世紀(jì)教育網(wǎng)解析：(1)

當(dāng)時(shí)，對(duì)，有

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，由解得或；

由解得，

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；的單調(diào)減區(qū)間為。

(2)因?yàn)?sub>在處取得極大值，

所以

所以

由解得。

由(1)中的單調(diào)性可知，在處取得極大值，

在處取得極小值。

因?yàn)橹本�與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又，，

結(jié)合的單調(diào)性可知，的取值范圍是。

24.(2009寧夏海南卷理)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)

(I)　　　　　　　　　　 如，求的單調(diào)區(qū)間；

(II)　　　　　　　　 若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明

＜6. 　　　　

　(21)解：

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，故 　　　

當(dāng)

當(dāng)

從而單調(diào)減少.

(Ⅱ)

由條件得：從而

因?yàn)?sub>所以

將右邊展開(kāi)，與左邊比較系數(shù)得，故

又由此可得 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

于是 　　　

23.(2009遼寧卷理)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，。

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性； 　　　　

(2)證明：若，則對(duì)任意x，x，xx，有。

解：(1)的定義域?yàn)?sub>。

2分

(i)若即,則

故在單調(diào)增加。

(ii)若,而,故,則當(dāng)時(shí)，;

當(dāng)及時(shí)，

故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。

(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.

(II)考慮函數(shù)

則

由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)有，即，故，當(dāng)時(shí)，有·········12分