求
的近似值，使誤差小于
．
解：
，
展開式中第三項為
，小于，以后各項的絕對值更小，可忽略不計，∴
，
一般地當
較小時
2．因為二項式定理中的字母可取任意數或式，所以在解題時根據題意，給字母賦值，是求解二項展開式各項系數和的一種重要方法
(1)
的展開式中二項式系數的和為 ，各項系數的和為
，二項式系數最大的項為第
項；
(2)
的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則第四項為 ．
(3)
+
+
+
，則
( )
A．
B.
C.
D.
(4)已知：
，
求：
的值
答案：(1)
，
，
；
(2)
展開式中只有第六項的二項式系數最大，
∴ 
， 
；
(3)A．
例1．在
的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和
證明：在展開式
中，令
，則
，
即
，
∴
，
即在的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和．
說明：由性質(3)及例1知
.
例2．已知
，求：
(1)
； (2)
； (3)
.
解：(1)當
時，
，展開式右邊為
∴
，
當
時，
，∴
，
(2)令， �、佟�
令
，
②
①
② 得：
，∴ 
.
(3)由展開式知：
均為負，
均為正，
∴由(2)中①+② 得：
，
∴ 
，
∴
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的系數
解：
=
，
∴原式中
實為這分子中的
，則所求系數為
例4.在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數
解：∵
∴在(x+1)5展開式中，常數項為1，含x的項為
，
在(2+x)5展開式中，常數項為25=32，含x的項為
∴展開式中含x的項為 
，
∴此展開式中x的系數為240
例5.已知
的展開式中，第五項與第三項的二項式系數之比為14；3，求展開式的常數項
解：依題意
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!
n=10
設第r+1項為常數項，又
令
，
此所求常數項為180
1二項式系數表(楊輝三角)
展開式的二項式系數，當
依次取
…時，二項式系數表，表中每行兩端都是
，除以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和
2．二項式系數的性質：
展開式的二項式系數是，
，
，…，
．
可以看成以
為自變量的函數
定義域是
，例當
時，其圖象是
個孤立的點(如圖)
(1)對稱性．與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等(∵
)．
直線
是圖象的對稱軸．
(2)增減性與最大值．∵
，
∴
相對于
的增減情況由
決定，
，
當
時，二項式系數逐漸增大．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值；
當是偶數時，中間一項
取得最大值；當是奇數時，中間兩項
，
取得最大值．
(3)各二項式系數和：
∵
，
令，則
3．
求常數項、有理項和系數最大的項時，要根據通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數及項數的整數性
2．二項展開式的通項公式：
1．二項式定理及其特例：
(1)，
(2).
23、在下列橫線上補寫出相應名篇名句。(10分，每空1分)
文人學者為了表明志向寄托情懷，常從名篇佳句中選字取意，命名書屋或居室。如柳亞子有一書房曰“磨劍室”，即取意于賈島的詩句“十年磨一劍，霜刃未曾試”。填寫出下列(1)(2)(3)處書屋名稱所取意的名句。
(1)“十駕齋”取意于 ， 。
(2)“鍥齋”取意于 ， 。
(3)“人鏡廬”取意于 ， 。
(4)于是廢先王之道， ， 。(《過秦論》)
(5)王安石《桂枝香•金陵懷古》中：“ ， ， 。”化用了杜牧《泊秦淮》的詩句：“商女不知亡國恨，隔江猶唱《后庭花》�！�
(6)五步一樓，十步一閣， ， 。(《阿房宮賦》)
(7)歐陽修在《伶官傳序》中就后唐莊宗耽溺于伶人而喪國的史實，告誡后人應記�。骸� ， 。”
(8)杜甫在《登岳陽樓》中由個人身世轉寫國事危難，感傷涕零的詩句是：“ ， �！�
(9)《夢游天姥吟留別》中李白表現詩人蔑視權貴的詩句是： ， ！”
(10) 多情的文人總是用自己的感情為景物染色。王勃筆下的秋筆觸雖明媚，卻有幾分落寞：“時維九月，序屬三秋。 ， �！�
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