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7. 已知數列滿足，則=　　

6. 在等比數列中,,前項和為,若數列也是等比數列,則等于　　

5. 已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若，且A、B、C三點共線(該直線不過原點O)，則S₂₀₀＝　　

4. 若互不相等的實數成等差數列，成等比數列，且，則　

3. 已知某等差數列共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差為　

2. 在等差數列{a}中，已知a=2,a+a=13，則a+a+a等于　　　

1. 如果-1，a, b,c,-9成等比數列，那么b=　　　

2. 解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用.

話題3：函數與數列的綜合題

數列是一特殊的函數，其定義域為正整數集，且是自變量從小到大變化時函數值的序列。注意深刻理解函數性質對數列的影響，分析題目特征，探尋解題切入點.

例6. (2006湖北卷)已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點(n，)(n)均在函數的圖像上。(Ⅰ)、求數列的通項公式；(Ⅱ)、設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；

點評：本題考查二次函數、等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。

解：(Ⅰ)設二次函數為f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,　 b=－2, 所以　 f(x)＝3x²－2x.

又因為點均在函數的圖像上，所以＝3n²－2n.

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝(3n²－2n)－＝6n－5.

當n＝1時，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 ()

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知＝＝，

故T_n＝＝＝(1－).

因此，要使(1－)<()成立的m必須且僅需滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.

例7. 設，定義，其中n∈N*.

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)若求前2n項的和。

解：(1)＝2，，，

∴

∴，∴數列{a_n}是首項為，公比為的等比數列，

(2)

兩式相減得：

例8. (湖北卷)設數列的前n項和為，點均在函數y＝3x－2的圖像上。

(Ⅰ)求數列的通項公式；(Ⅱ)設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m。

本小題主要是考查等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。

解：(I)依題意得，即。

當n≥2時，a;

當n=1時，×-2×1-1-6×1-5

所以()。

(II)由(I)得，

故。

因此，使得﹤成立的m必須滿足≤，即m≥10,故滿足要求的最小整數m為10。

話題4：數列與解析幾何

數列與解析幾何綜合題，是今后高考命題的重點內容之一，求解時要充分利用數列、解析幾何的概念、性質，并結合圖形求解.

例9. 在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數，點位于函數的圖像上，且的橫坐標構成以為首項，­為公差的等差數列.

⑴求點的坐標；⑵設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：.

解：(1)

(2)的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設的方程為：

把代入上式，得，的方程為：。

，

=

點評：本例為數列與解析幾何的綜合題，難度較大。(1)、(2)兩問運用幾何知識算出.

例10. 已知拋物線，過原點作斜率1的直線交拋物線于第一象限內一點，又過點作斜率為的直線交拋物線于點，再過作斜率為的直線交拋物線于點，，如此繼續，一般地，過點作斜率為的直線交拋物線于點，設點.

令，求證：數列是等比數列. 并求數列的前項和

解：因為、在拋物線上，故①②，又因為直線的斜率為，即，①②代入可得，　 故是以

為公比的等比數列；，

話題5：數列創新題

例11.(安徽卷)數列的前項和為，已知

，，，2，…

(Ⅰ)寫出與的遞推關系式()，并求關于的表達式；

(Ⅱ)設，()，求數列的前項和。

解：由()得：，即，所以，對成立。

由，，…，相加得：，又，所以，當時也成立。

(Ⅱ)由，得。

而，

，

例12. (福建卷)已知數列{a_n}滿足a₁=a, a_n+1=1+我們知道當a取不同的值時，得到不同的數列，如當a=1時，得到無窮數列：

(Ⅰ)求當a為何值時a₄=0；(Ⅱ)設數列{b_n­}滿足b₁=－1, b_n+1=，求證：a取數列{b_n}中的任一個數，都可以得到一個有窮數列{a_n}；

　 　(I)解法一：

故a取數列{b_n}中的任一個數，都可以得到一個有窮數列{a_n}

例13. (全國卷III) 在等差數列中，公差的等比中項.

已知數列成等比數列，求數列的通項

解：由題意得：　　　　　　 即

又

又成等比數列,

∴該數列的公比為，

所以

又所以數列的通項為

話題6：永遠的遞推

例14. 在數列中，

(1)，，則通項公式= ＿＿＿＿＿

(2)，，則通項公式= ＿＿＿＿＿

(3)，，則通項公式= ＿＿＿＿＿

(4)，當時，，則通項公式= ＿＿＿＿＿

(5)已知，，則通項公式　　　　　　

(6)設，且. 則通項公式　　　　　　

(7)設，且. 則通項公式　　　　　　

解：(1)迭加得：

(2)迭乘得：

(3)迭代得：

(4)取倒數得等差數列：

(5)配方得等比數列：

(6)配方得等比數列：

(7)同除以2ⁿ得等差數列：

[模擬試題]

4. 解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略.

[典型例題]

話題1：等差、等比數列的項與和的特征問題

例1. (四川卷)數列的前項和記為(Ⅰ)求的通項公式；(Ⅱ)等差數列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數列，求

解：(Ⅰ)由可得，兩式相減得

又 ∴　 故是首項為，公比為的等比數列　 ∴

(Ⅱ)設的公比為，由得，可得，可得

故可設　　 又

由題意可得　　　　 解得

∵等差數列的各項為正，∴　 ∴　 ∴

例2. (上海卷)設數列的前項和為，且對任意正整數，。(1)求數列的通項公式？(2)設數列的前項和為,對數列，從第幾項起？

解：(1) ∵a_n+ S_n=4096, ∴a₁+ S₁=4096, a₁ =2048.

當n≥2時, a_n= S_n－S_n－1=(4096－a_n)－(4096－a_n－1)= a_n－1－a_n

∴=，a_n=2048()^n－1.

　　 (2) ∵log₂a_n=log₂[2048()^n－1]=12－n,　　 ∴T_n=(－n²+23n).

　　 由T_n<－509,解得n>,而n是正整數,于是,n≥46.　　 ∴從第46項起T_n<－509.

例3. (全國卷Ⅰ) 設正項等比數列的首項，前n項和為，且。(Ⅰ)求的通項公式；(Ⅱ)求的前n項和。

解：(Ⅰ)由 　得

即

可得

因為，所以 　解得，因而

(Ⅱ)因為是首項、公比的等比數列，故

則數列的前n項和

前兩式相減，得　

　 即　

話題2：等差、等比數列的判定問題.

例4. (上海卷)已知有窮數列共有2項(整數≥2)，首項＝2. 設該數列的前項和為，且＝+2(＝1，2，…，2－1)，其中常數＞1.

(1)求證：數列是等比數列；(2)若＝2，數列滿足＝(＝1，2，…，2)，求數列的通項公式；

(3)若(2)中的數列滿足不等式|－|+|－|+…+|－|+|－|≤4，求的值.

(1) 證明：當n=1時,a₂=2a,則=a；

2≤n≤2k－1時, a_n+1=(a－1) S_n+2, a_n=(a－1) S_n－1+2,

a_n+1－a_n=(a－1) a_n,　 ∴=a, ∴數列{a_n}是等比數列.

(2) 解：由(1) 得a_n=2a, ∴a₁a₂…a_n=2a=2a=2,

b_n=(n=1,2,…,2k).

(3)設b_n≤,解得n≤k+,又n是正整數,于是當n≤k時, b_n<；

當n≥k+1時, b_n>.

原式=(－b₁)+(－b₂)+…+(－b_k)+(b_k+1－)+…+(b_2k－)

=(b_k+1+…+b_2k)－(b₁+…+b_k)

==.

當≤4,得k²－8k+4≤0,　　 4－2≤k≤4+2,又k≥2,

∴當k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.

例5. 已知數列中，是其前項和，并且，⑴設數列，求證：數列是等比數列；⑵設數列，求證：數列是等差數列；⑶求數列的通項公式及前項和。

分析：由于{b}和{c}中的項都和{a}中的項有關，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑.

[注2]本題立意與2007年高考題文科20題結構相似.

解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a. (根據b的構造，如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)

a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　 ①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　 ②

由①和②得，數列{b}是首項為3，公比為2的等比數列，故b=3·2.

當n≥2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式.

綜上可知，所求的前n項和為S=2(3n-4)+2.

說明：1. 本例主要復習用等差、等比數列的定義證明一個數列為等差，等比數列，求數列的通項公式與前項和。解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式。

3. 注意與之間關系的轉化。如：=　 ，

=.