解綜合題的成敗在于審清題目.弄懂來龍去脈.透過給定信息的表象.抓住問題的本質.揭示問題的內在聯系和隱含條件.明確解題方向.形成解題策略. [典型例題] 話題1:等差.等比數列的項與和的特征問題例1. 數列的前項和記為(Ⅰ)求的通項公式,(Ⅱ)等差數列的各項為正.其前項和為.且.又成等比數列.求解:(Ⅰ)由可得.兩式相減得又 ∴ 故是首項為.公比為的等比數列 ∴ (Ⅱ)設的公比為.由得.可得.可得故可設又由題意可得解得 ∵等差數列的各項為正.∴ ∴ ∴ 例2. 設數列的前項和為.且對任意正整數..(1)求數列的通項公式?(2)設數列的前項和為,對數列.從第幾項起? 解:(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048. 當n≥2時, an= Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)= an-1-an ∴=.an=2048()n-1. (2) ∵log2an=log2[2048()n-1]=12-n, ∴Tn=(-n2+23n). 由Tn<-509,解得n>,而n是正整數,于是,n≥46. ∴從第46項起Tn<-509. 例3. 設正項等比數列的首項.前n項和為.且.(Ⅰ)求的通項公式,(Ⅱ)求的前n項和. 解:(Ⅰ)由得即可得因為.所以解得.因而 (Ⅱ)因為是首項.公比的等比數列.故則數列的前n項和前兩式相減.得即話題2:等差.等比數列的判定問題. 例4. 已知有窮數列共有2項(整數≥2).首項＝2. 設該數列的前項和為.且＝+2(＝1.2.-.2-1).其中常數＞1. (1)求證:數列是等比數列,(2)若＝2.數列滿足＝(＝1.2.-.2).求數列的通項公式, 中的數列滿足不等式|-|+|-|+-+|-|+|-|≤4.求的值. (1) 證明:當n=1時,a2=2a,則=a, 2≤n≤2k-1時, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2, an+1-an=(a-1) an, ∴=a, ∴數列{an}是等比數列. 得an=2a, ∴a1a2-an=2a=2a=2, bn=. (3)設bn≤,解得n≤k+,又n是正整數,于是當n≤k時, bn<, 當n≥k+1時, bn>. 原式=(-b1)+(-b2)+-+(-bk)+(bk+1-)+-+(b2k-) =(bk+1+-+b2k)-(b1+-+bk) ==. 當≤4,得k2-8k+4≤0, 4-2≤k≤4+2,又k≥2, ∴當k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立. 例5. 已知數列中.是其前項和.并且.⑴設數列.求證:數列是等比數列,⑵設數列.求證:數列是等差數列,⑶求數列的通項公式及前項和. 分析:由于{b}和{c}中的項都和{a}中的項有關.{a}中又有S=4a+2.可由S-S作切入點探索解題的途徑. [注2]本題立意與2007年高考題文科20題結構相似. 解:(1)由S=4a.S=4a+2.兩式相減.得S-S=4(a-a).即a=4a-4a. (根據b的構造.如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵.注意加強恒等變形能力的訓練) a-2a=2(a-2a).又b=a-2a.所以b=2b ① 已知S=4a+2.a=1.a+a=4a+2.解得a=5.b=a-2a=3 ② 由①和②得.數列{b}是首項為3.公比為2的等比數列.故b=3·2. 當n≥2時.S=4a+2=2+2,當n=1時.S=a=1也適合上式. 綜上可知.所求的前n項和為S=2+2. 說明:1. 本例主要復習用等差.等比數列的定義證明一個數列為等差.等比數列.求數列的通項公式與前項和.解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式. 【查看更多】

在實數范圍內解不等式：5^x≥4^x+1．并利用解此題的方法證明：3^x+4^x=5^x有唯一解．

在一次數學競賽中，共出甲、乙、丙三題，在所有25個參賽的學生中，每個學生至少解出一題；在所有沒有解出甲題的學生中，解出乙題的人數是解出丙題的人數的兩倍；只解出甲題的學生比余下的學生中解出甲題的學生的人數多1；只解一題的學生中，有一半沒有解出甲題．問共有多少學生只解出乙題？

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