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F (x)＝a ^x－x(a＞1)的單調性可知：-∞＜0＜＜＜＜+∞，這說明函數f (x)＝a ^x (a＞1)的圖像與直線y＝x有兩不同的公共點個公共點。      ………12分

綜上所述：

當a＜時：F (x)_min ＝F ()＜0，所以方程F (x)＝a ^x－x ＝0有兩相異的實數解（設＜)。

又因為當x → -∞或x → +∞時有F (x) → +∞，且F (0)＝1，所以據函數

  當a＝時：F (x)_min ＝F ()＝F (e)＝0，所以方程F (x)＝a ^x－x ＝0有唯一實數解x ＝＝e。這說明函數f (x)＝a ^x (a＞1)的圖像與直線y＝x有唯一公共點；                                                     ………11分

故當a＞時：F (x)_min ＝F ()＞0，所以方程F (x)＝a ^x－x ＝0無實數解，這說明函數f (x)＝a ^x (a＞1)的圖像與直線y＝x沒有公共點；           ………10分

令－＞0，解得：a ＞。

所以F (x)的最小值為F (x)_min＝F ()＝－。………9分

當x ≤時：F′ (x)≤0，F (x)在區間上是減函數。

所以當x ≥時：F′ (x)≥0，F (x)在區間上是增函數；

解得：x ≥。

21．解； 1）設點M（x₀, y₀）是函數y ＝ f (x)的圖像與其反函數y ＝ f ^-1 (x)的圖像的公

點，則有：y₀＝f (x₀) ，                                    

y₀ ＝ f ^-1 (x₀)，據反函數的意義有：x₀ ＝ f (y₀)。                        ………2分

所以：y₀ ＝ f (x₀)且同時有x₀ ＝ f (y₀)。

若x₀ ＜ y₀ ，因為函數y ＝ f (x) 是其定義域上是增函數，

所以有：f (x₀) ＜ f (y₀) ，即y₀ ＜ x₀ 與 x₀ ＜ y₀矛盾，這說明x₀ ＜ y₀是錯誤的。

同理可證x₀ ＞ y₀也是錯誤的。

所以x₀ ＝ y₀ ，即函數y ＝ f (x)的圖像與其反函數y ＝ f ^-1 (x)的圖像有公共點在直線y ＝ x上；                                                        ………5分

2）構造函數F (x)＝a ^x－x(a＞1)

因為F′ (x)＝ a ^xlna － 1（a ＞ 1），                               ………6分

令F′ (x)＝ a ^xlna － 1≥0，