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y=f(r)=0.2×πr³-0.8πr²=0.8π(-r²),0<r≤6.      2分

19.(本小題滿分10分)某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0.8πr²分(其中r是瓶子的半徑,單位是厘米).已知每出售1 mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.

(1)瓶子半徑多大時,能使每瓶飲料的利潤最大?

(2)瓶子半徑多大時,每瓶飲料的利潤最小?

分析 本題考查導數的應用及利用導數知識解決實際問題的能力.

解 由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤是

解得x=9.因為x=9∈［1,10］,y只有一個極值點,所以它是最值點,即在相同的時間內,生產第9檔次的產品利潤最大,最大利潤為864元.

求導數,得y′=-12x+108.

令y′=-12x+108=0,

解法二 由上面解法得到y=-6x²+108x+378.

18.★(本小題滿分10分)某產品按質量分為10個檔次,生產第一檔(即最低檔次)的利潤是每件8元,每提高一個檔次,利潤每件增加2元,但在相同的時間內產量減少3件.在相同的時間內,最低檔的產品可生產60件.問在相同的時間內,生產第幾檔次的產品的總利潤最大?有多少元?

分析 在一定條件下,“利潤最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強度最大”等問題,在生產、生活中經常用到,在數學上這類問題往往歸結為求函數的最值問題.除了常見的求最值的方法外,還可用求導法求函數的最值.但無論采取何種方法都必須在函數的定義域內進行.

解法一 設相同的時間內,生產第x(x∈N*,1≤x≤10)檔次的產品利潤y最大.         2分

依題意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］            4分

=-6x²+108x+378

=-6(x-9)²+864(1≤x≤10),                       8分

顯然,當x=9時,y_max=864(元),

即在相同的時間內,生產第9檔次的產品的總利潤最大,最大利潤為864元.   10分

∴f(x)在［-2,2］上的最大值為,最小值為.       8分

又f()=-,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,                  7分

由f′(x)=0,得x=或x=-1.   5分

∴f′(x)=3x²-x-4.