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某市旅游部門開發一種旅游紀念品，每件產品的成本是元，銷售價是元，月平均銷售件.通過改進工藝，產品的成本不變，質量和技術含金量提高，市場分析的結果表明，如果產品的銷售價提高的百分率為，那么月平均銷售量減少的百分率為.記改進工藝后，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤是（元）.

(1)寫出與的函數關系式；

(2)改進工藝后，確定該紀念品的售價，使旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.

【解析】第一問先得到改進工藝后，每件產品的銷售價為20（1+x），月平均銷售量為件，則月平均利潤（元），

∴y與x的函數關系式為

第二問中，求導數，

由得 

當時；時

得到最值。

解:(Ⅰ)改進工藝后，每件產品的銷售價為20（1+x），月平均銷售量為件，則月平均利潤（元），

∴y與x的函數關系式為

  .

(Ⅱ)由得 

當時；時，

∴函數

在取得最大值.

故改進工藝后，產品的銷售價為20（1+1/2）=30元時，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.

已知函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問，利用函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分離參數∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函數求導數，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切線方程為y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

則g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．

∴g(x)_極小值＝g(0)＝－6，g(x)_極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

已知函數的圖象過點（-1，-6），且函數 的圖象關于y軸對稱.

（1）求、的值及函數的單調區間；

（2）若函數在（-1，1）上單調遞減，求實數的取值范圍。

【解析】本試題主要考查了導數在函數研究中的應用。利用導數能求解函數的單調性和奇偶性問題，以及能根據函數單調區間，逆向求解參數的取值范圍的求解問題。要利用導數恒小于等于零來解得 。