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15．（本小題滿分13分）

在中，角的對邊分別為，且，，（I）求角的大小;   （II）求的面積.

16．（本小題12分）

某次演唱比賽，需要加試綜合素質測試，每位參賽選手需回答三個問題，組委會為每位選手都備有10道不同的題目可供選擇，其中有6道藝術類題目，2道文學類題目，2道體育類題目。測試時，每位選手從給定的10道題中不放回地隨機抽取三次，每次抽取一道題，回答完該題后，再抽取下一道題目作答．

（I）求某選手在三次抽取中，只有第一次抽到的是藝術類題目的概率；

（II）求某選手抽到體育類題目數的分布列和數學期望.

17．（本小題14分）

如圖，直三棱柱中，，，D為棱 的中點．

（I）證明：；

（II）求異面直線與所成角的大小；

（III）求平面所成二面角的大小（僅考慮

     銳角情況）．

18．（本小題滿分13分）

已知函數 .

（I）若函數的導函數是奇函數，求的值；

（II）求函數的單調區間.

19.（本小題滿分14分）

已知F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，其左準線與x軸相交于點N，并且滿足，（1）求此橢圓的方程；（2）設是這個橢圓上的兩點，并且滿足時，求直線的斜率的取值范圍.

20．（本小題滿分14分）

已知數列時，.

  （Ⅰ）求；

  （Ⅱ）求證：；

  （Ⅲ）求證：僅存在兩個正整數，使得.

2008―2009學年度東城區高中示范校高三質量檢測（二）

數學答案(理)

1．D   2．B   3．A   4 .B   5．  6．A   7．A   8．B

9.     10.         11.2        12.270        13.         14.

15．（本小題13分）

解：①             --------------------------        4分

                    --------------------------    6分

                                     --------------------------- 7分

②             ----------------------------  9分

                     -------------------------        11 分    

             --------------------------  13分

16．（本小題12分）

解：（1）從10道不同的題目中不放回的隨機抽取三次，每次只抽取1道題，抽法總數為，只有第一次抽到藝術類題目的抽法總數為

…………………………………………………………………（4分）

（2）抽到體育類題目數的可能取值為0，1，2

則

……………………………………………………………（8分）

所以的分布列為：……………………………………………………………………（10分）

0

1

2

P

從而有…………………………………………（12分）

17．（本小題14分）

（I）證：都為等腰直角三角形

，即…………………………………………… （2分）

又

………………………………………………………… （4分）

（II）解：連交于E點，取AD中點F，連EF、CF，則

是異面直線與所成的角（或補角）………………… （5分）

，，

在中，………………… （8分）

則異面直線與所成角的大小為…………………… （9分）

（III）解：延長與AB延長線交于G點，連接CG

過A作,連，

，（三垂線定理）

則的平面角，即所求二面角的平面角… （10分）

在直角三角形ACG中，

………………………………（11分）

在直角三角形中，…………………… （13分）

，

即所求的二面角的大小為……………………………………… （14分）

（18）（本小題共13分）

解：（I）-------------------------（2分）

是奇函數，， ---（4分）

（II），

①當時，恒有，

為 上的單調減函數；------------------------------(7分)

②當時，由得

----（10分）

當時，單調遞增；

當時，單調遞減；-------------（12分）

綜上：當時，為 上的單調減函數；

當時，在上單調遞增；

在上單調遞減.-------------------（14分）

19．（本小題共14分）

解：（1）由于，

     _{……………………………………}（3分）

解得，從而所求橢圓的方程為_{………………}              （5分）

   （2）三點共線，而點N的坐標為（－2，0）.

設直線AB的方程為，

其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0.

由消去x得，

即_{………………………………}（6分）

根據條件可知 

解得_{…………………………………………………………}                                      （7分）

設，則根據韋達定理，得

又由

   從而

消去_{…………………………………………}                              （10分）

令，則

上的減函數，…………………………………………（12分）

從而，

即，

 ，

解得

因此直線AB的斜率的取值范圍是       （14分）

20．（本小題滿分14分）

   （I）解：b₅=1×2×3×4×5－1²－2²－3²－4²－5²=65.…………………………4分

   （II）證明：

                   =

                   =

                   .…………………………………………9分

   （III）解：易算出b₁=0，b₂≠0,b₃≠0, b₄≠0,…………………………………………11分

         當n≥5時，b_n+1=b_n－1，這表明{b_n}從第5項開始，構成一個以b₅=65為首項，公差為－1的等差數列.

          由b_m=b₅+(m－5)×(－1)=65－m+5=0，解出m=70.…………………………13分

          因此，滿足a₁a₂…a_m=的正整數只有兩個；

          m=70或m=1.……………………………………………………………………14分