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已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n+1=3S_n，n∈N^*．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=log₄a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，試比較b₁+b₂+…+b_n與

1

2

(n-1)2的大小，并說(shuō)明理由；
（3）試判斷：當(dāng)n∈N^*時(shí)，向量

a

=（a_n，b_n）是否可能恰為直線l：y=

1

2

x+1的方向向量？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=m（m為正整數(shù)），a_n+1=

an 2 ，當(dāng)an為偶數(shù)時(shí) 3an+1 ，當(dāng)an為奇數(shù)時(shí)

若a₆=1，則m所有可能的取值為．

已知數(shù)列{x_n}中，x1=1，xn+1=1+

xn

p+xn

(n∈N*，p是正常數(shù))．
（Ⅰ）當(dāng)p=2時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明xn＜

2

(n∈N*)
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)M，使得對(duì)于任意正整數(shù)n，都有x_M≥x_n．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的平均數(shù)的倒數(shù)為

1

2n+1

，
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=

an

2n+1

，試判斷并說(shuō)明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符號(hào)；
（3）設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

，是否存在最大的實(shí)數(shù)λ，當(dāng)x≤λ時(shí)，對(duì)于一切自然數(shù)n，都有f（x）≤0．

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1-2n+5（n∈N⁺且n≥2），a₁=1．
（1）若b_n=a_n-2n+1，求證：數(shù)列{b_n}（n∈N⁺）是常數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)；
（2）若S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，又c_n=（-1）ⁿS_n，且{c_n}的前n項(xiàng)和T_n＞tn²在n∈N⁺時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．