Question

已知數列{a_n}的前n項的平均數的倒數為

1

2n+1

，
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設cn=

an

2n+1

，試判斷并說明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符號；
（3）設函數f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

，是否存在最大的實數λ，當x≤λ時，對于一切自然數n，都有f（x）≤0．

Answer 1

分析：（1）根據數列{a_n}的前n項的平均數的倒數為

1

2n+1

，表示出數列的前n項和公式，問題就變化為由s_n求a_n的問題，這種問題要仿寫一個s_n-1，兩個式子相減，得到要求的通項．注意首相是否符合通項．
（2）根據所給的新數列寫出數列的表達式，即c_n的表達式，把式子進行整理，分子常數化，仿寫c_n-1，寫出要判斷符號的式子，兩式相減得到分子相同的兩個分式的差的形式，容易判斷符號．
（3）本題是一個恒成立問題，根據上一問得到的關于c_n的單調性，對于一切自然數n，都有不等式成立，用c₁代入，解關于變量的一元二次不等式，得到結果．

解答：解：（1）∵數列{a_n}的前n項的平均數的倒數為

1

2n+1

，
∴a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1）
兩式相減得a_n=4n-1（n≥2），
∵a₁=3，
∴a_n=4n-1（n∈N）
（2）∵cn=

an

2n+1

=

4n-1

2n+1

=2-

3

2n+1

，cn+1=2-

3

2n+3

，
∴cn+1-cn=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，即cn+1＞cn．
（3）由（2）知c₁=1是數列{c_n}中的最小項，
∵x≤λ時，對于一切自然數n，都有f(x)≤0，即-x2+4x≤

an

2n+1

=cn，
∴-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0，
∴x≥2+

3

或x≤2-

3

， ∴取λ=2-

3

．

點評：培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，本題可以培養學生的知識、方法遷移能力，可以提高學生分析問題和解決問題的能力．