河北省邢臺市2009年高三年級模擬考試
理科數學試題
注意事項：
1．本試卷共三道大題，總分150分，考試時間120分鐘。
2．答卷前，考生務必將自己的姓名等信息按要求填在答題卡指定位置。
3．選擇題每小題選出答案后，涂在答題卡對應位置，答在試題卷上無效。
4．非選擇題用0.5毫米的黑色墨水簽字筆或黑色水鋼筆直接答在答題卡上每題對應的答題區域內，答在試題卷上無效。考試結束后，只上交答題卡。
一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．已知集合
，
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若復數
是純虛數（
是實數，
是虛數單位）則=（ ）
A．
B．
C．
D．
3．設
為函數
（
）的圖像與其反函數
的圖像的一個交點，則（ ）
A．
，
B．，
C．
，
D．，
4．已知
，則（ ）
A．
B．
C．
D．
5．由
展開所得的
的多項式中，系數為有理數的共有（ ）
A．15項 B．16項 C．17項 D．18項
6．設
、
是兩條不同的直線，
、
、
是三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若
，
，則
；②若
，
，，則
；③若
，，則
；④若
，
，則。其中正確命題的序號是（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
7．若關于的不等式
的解集為
，則實數的取值范圍是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在
中（
為坐標原點），
，
，若
，則
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
9．正方體
的八個頂點都在球的表面上，E、F分別是棱
、
的中點，且直線
被球截得的線段長為
，則該正方體的棱長為（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知拋物線
（
）的焦點F恰好是橢圓
的右焦點，且兩條曲線的公共點的連線過F，則該橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．
11．設
是公差為正數的等差數列，若
，
，則
（ ）
A． B． C．
D．
12． 給出定義：若
（
），則叫做離實數最近的整數，記作
，即
。在此基礎上有函數
（
）。對于函數
給出如下判斷：①函數
是偶函數；②函數是周期函數；③函數在區間
上單調遞增；④函數的圖像關于直線
（
）對稱。
則以上判斷中正確結論的個數是（ ）
A．1 B．
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）
13．已知
，
，
則
=
。
14．已知
是半徑為
的⊙的直徑，
，
、
是
圓上兩點，且
，
，沿
將半圓
折成一個直二面角，則、兩點間的距離為 。
15．已知、
滿足
，則
的最小值是
。
16．如右圖所示，畫中的一朵花由五片花瓣組成，現有四種不同顏色
的畫筆可供選擇，規定每片花瓣都要涂色，且只涂一種顏色。若
涂完的畫中顏色相同的花瓣恰有三片，則不同的涂法種數為
。
三、解答題（本大題共6個小題．共70分．解答應寫出文宇說明、證明過程或演算步驟）
17．(本小題共10分)設
的內角A、B、C所對的邊長分別為
、、
，已知
，
。
（1）求邊長的值；
（2）若的面積
，求的周長
。
18．(本小題共12分)如圖所示，在棱長為2的正方體
中，E、F分別為
和
的中點。
(1)求證：
平面
；
(2) 若在棱
上存在一點，使得二面角
的大小為30°，試求出
的長。
19．(本小題共12分)在甲乙兩只不透明的布袋中裝有若干個均勻的紅球和白球．從甲袋中摸出一個紅球的概率是
，從乙袋中摸出一個紅球的概率
(以下問題中的摸球均指有放回地摸球，每次摸一個) ．
(1)從甲袋中摸球，有2次摸到紅球即停止，求恰好摸完第四次就停止的概率；
(2) 從甲袋中摸球，記4次之內(含4次)摸到紅球的次數為
，求隨機變量的概率分布及期望．
20．(本小題共12分)已知函數
。
(1)求函數在
上的最大值、最小值；
(2)設
，如果函數
的圖象在函數
的圖象的下方，則稱函數在區間
上被函數覆蓋，求證：函數在區間
上被函數
覆蓋．
21．(本小題共12分)數列中，
，
（
）。
(1)設
，求證數列
是等比數列，并求其前項和；
(2)設
，若數列的前項和為
，求證：
。
22．(本小題共12分)已知雙曲線
（
，
），其準線交軸于點
，雙曲線虛軸的下端點為
，過雙曲線的右焦點
作垂直于軸的直線交雙曲線于點，若點滿足
（為原點），且
（
）。
(1)求雙曲線的離心率；
(2)若
，過點的直線交雙曲線于
、
兩點，問在軸上是否存在定點
使
為常數？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由。
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