Question

5．如圖所示，質量為m=5kg，長為2a=20cm，底面積為S=10cm²的薄壁氣缸放在水平面上，氣缸與水平面間的動摩擦因數為μ=0.1．氣缸內有一個質量為m=5kg的活塞，活塞與墻壁之間連接一個勁度系數為k=200N/m的輕彈簧．當氣缸內氣體（可視為理想氣體）的溫度為T₀=27℃，壓強為p₀=1×10⁵Pa時，活塞恰好位于氣缸的中央位置，且輕彈簧處于原長狀態．已知大氣壓強為p₀=1×10⁵Pa，重力加速度為g=10m/s²，氣缸與水平面間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，汽缸內壁光滑，氣缸和活塞氣密性良好且絕熱，不計活塞的厚度，現用電熱絲對氣缸內氣體緩慢加熱．
（i）氣缸內溫度多大時，氣缸開始滑動？
（ii）氣缸呢溫度多大時，活塞滑到氣缸最右端？

Answer 1

分析 （i）對活塞和汽缸受力分析列出平衡方程，對氣體根據理想氣體狀態方程列式
（ii）氣缸中氣體發生等壓升溫膨脹，根據等壓變化的規律求解

解答 解：（i）當汽缸恰好開始滑動時，對汽缸有${p}_{0}^{\;}S+μ•2mg={p}_{1}^{\;}S$
設在此過程中活塞向右移動了${x}_{1}^{\;}$，對活塞有${p}_{1}^{\;}S={p}_{0}^{\;}S+k{x}_{1}^{\;}$
得${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{2μmg}{S}$，${x}_{1}^{\;}=\frac{2μmg}{k}$
由理想氣體狀態方程有$\frac{{p}_{0}^{\;}Sa}{{T}_{0}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{\;}（a+{x}_{1}^{\;}）S}{{T}_{1}^{\;}}$
得${T}_{1}^{\;}=\frac{（{p}_{0}^{\;}+\frac{2μmg}{S}）（a+\frac{2μmg}{k}）}{{p}_{0}^{\;}a}{T}_{0}^{\;}$
代入數據得：${T}_{1}^{\;}=495K$
（ii）緩慢加熱，氣缸處于平衡狀態，汽缸滑動過程有${p}_{0}^{\;}S+μ•2mg=pS$
則氣體壓強為$p={p}_{1}^{\;}$，保持不變，氣體做等壓變化，活塞向右移動距離${x}_{1}^{\;}$后不再移動
$\frac{（a+{x}_{1}^{\;}）S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{2aS}{{T}_{2}^{\;}}$
得${T}_{2}^{\;}=\frac{2a}{（a+\frac{2μmg}{k}）}{T}_{1}^{\;}$
代入數據得T=660K
答：（i）氣缸內溫度495K時，氣缸開始滑動
（ii）氣缸內溫度660K時，活塞滑到氣缸最右端

點評 本題關鍵是考查理想氣體狀態方程和氣體實驗定律的應用，確定氣體壓強是難點，對活塞和汽缸受力分析根據力平衡法求壓強，氣態方程和實驗定律是高考的重點，要熟練應用．