Question

17．我國最新研制的“長征六號”運載火箭與2015年9月20日發射，成功將20顆微小人造衛星送入預定軌道，締造了我國“一箭多星”的發射記錄；已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，假設某顆質量為m的衛星運行在軌道半徑為地球半徑n倍的圓形軌道上，則（　　）

• A． 該衛星運行時的向心力大小為$\frac{mg}{n}$
• B． 該衛星運行時的向心加速度大小是地球表面重力加速度大小的$\frac{1}{n}$
• C． 該衛星的運行速度大小為$\sqrt{gnR}$
• D． 該衛星的運行速度大小是第一宇宙速度大小的$\frac{1}{\sqrt{n}}$

Answer 1

分析 衛星繞著地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律多次列式；在地面，忽略地球自轉由重力等于萬有引力列式；最后聯立分析即可．

解答 解：A、在地面，重力等于萬有引力，故有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
對衛星，萬有引力提供向心力，故有：${F}_{向}^{\;}=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$
其中：r=nR   
聯立解得：${F}_{向}^{\;}=\frac{mg}{{n}_{\;}^{2}}$，故A錯誤；
B、對衛星，萬有引力提供向心力，故有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$
聯立①④解得：$a=\frac{g}{{n}_{\;}^{2}}$，故B錯誤；
C、對衛星，萬有引力提供向心力，故有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{nR}}=\sqrt{\frac{gR}{n}}$，故C錯誤；
D、第一宇宙速度是近地衛星的速度，故有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
得${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
解得：$\frac{v}{{v}_{1}^{\;}}=\sqrt{\frac{R}{r}}=\sqrt{\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}$，故D正確；
故選：D

點評 本題以我國“一箭多星的新紀錄”為背景，考查了人造衛星的相關知識，關鍵是明確衛星的動力學原理，根據牛頓第二定律列式分析，不難．