Question

13．如圖所示，平面直角坐標系的第二象限內存在水平向左的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場，一質量為m、帶電荷量為+q的小球從A點以初速度v₀沿直線AO運動，AO與x軸負方向成37°角，在y軸與MN之間的區域Ⅰ內加一電場強度最小的勻強電場后，可使小球繼續做直線運動到MN上的C點，MN與PQ之間區域Ⅱ內存在寬度為d的豎直向上勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場，小球在區域Ⅱ內做勻速圓周運動并恰好不能從右邊界飛出，已知小球在C點的速度大小為2v₀，重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）第二象限內電場強度E₁的大小和磁感應強度B₁的大小；
（2）區域Ⅰ內最小電場強度E₂的大小和方向；
（3）區域Ⅱ內電場強度E₃的大小和磁感應強度B₂的大小．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在第二象限受三個力作用做直線運動，則三力平衡．由平衡條件在水平方向和豎直方向的合力為零，可以求得第二象限的電場強度和磁感應強度．
（2）通過O點后，仍做直線運動，則電場力與重力的合力沿直線方向，要使電場強度最小，則電場力與直線垂直．畫出受力圖，能夠求出最小的電場強度．
（3）進入區域Ⅱ后做勻速圓周運動，顯然重力與電場力抵消，在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，列出相應的半徑式，就能求出該區域內的磁感應強度．

解答 解：（1）帶電小球在第二象限內受重力、電場力和洛倫茲力做直線運動，三力滿足如圖所示關系且小球只能做勻速直線運動，由圖知：
  $tan37°=\frac{q{E}_{2}}{mg}$   得：${E}_{2}=\frac{3mg}{4q}$
  $cos37°=\frac{mg}{{B}_{1}q{v}_{0}}$
  得：${B}_{1}=\frac{5mg}{4q{v}_{0}}$
（2）區域Ⅰ中小球做直線運動，電場強度最小，受力如圖所示（電場力方向與速度方向垂直），小球做勻加速直線運動，
  由圖知：$cos37°=\frac{q{E}_{2}}{mg}$   得 ${E}_{2}=\frac{4mg}{5q}$   
  方向與x軸正方向成53° 向上．
（3）小球在區域Ⅱ內做勻速圓周運動，所以：
  mg=qE₃   得${E}_{3}=\frac{mg}{q}$
  因為小球恰好不從右邊界穿出，小球運動軌跡如圖所示，由幾何關系得：$r=\frac{5}{8}d$ 
  由洛侖茲力提供向心力知：${B}_{2}q2{v}_{0}=m\frac{（2{v}_{0}）^{2}}{r}$  
  聯立得  ${B}_{2}=\frac{16m{v}_{0}}{5qd}$
答：（1）第二象限內電場強度E₁的大小是$\frac{3mg}{4q}$、磁感應強度B₁的大小是$\frac{5mg}{4q{v}_{0}}$．
（2）區域Ⅰ內最小電場強度E₂的大小為$\frac{4mg}{5q}$和方向與x軸正方向成53° 向上．
（3）區域Ⅱ內電場強度E₃的大小和磁感應強度B₂的大小$\frac{16m{v}_{0}}{5qd}$．

點評 本題三問題干涉及比較過程含蓄，考察三個問題：①第一問是三力平衡，由平衡條件可得到結果．②第二問涉及做直線運動的條件，是合力與速度方向在一條直線上，求另一個的最小值，只有當該力與速度方向垂直時最小．③第三問是在復合場中做勻速圓周運動，顯然兩個恒力相互抵消，只在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動．