Question

18．地球半徑為R，表面的重力加速度為g，衛星在距地面高R處作勻速圓周運動時，線速度為$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，角速度為$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{2R}}$，加速度為$\frac{1}{4}g$，周期為$4π\sqrt{\frac{2R}{g}}$．

Answer 1

分析 根據地球表面處重力等于萬有引力和衛星受到的萬有引力等于向心力，即$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$列式即可求解．

解答 解：根據衛星受到的萬有引力等于向心力得：
$G\frac{Mm}{{（R+R）}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{2R}$
地球表面處重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：v=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
T=$\frac{2π（2R）}{v}=\frac{4πR}{\sqrt{\frac{gR}{2}}}=4π\sqrt{\frac{2R}{g}}$
根據$G\frac{Mm}{{（R+R）}^{2}}=ma$及$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$可知：
a=$\frac{1}{4}g$
根據ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{2R}}$
故答案為：$\sqrt{\frac{gR}{2}}$；$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{2R}}$；$\frac{1}{4}g$；$4π\sqrt{\frac{2R}{g}}$

點評 解決本題的關鍵是掌握萬有引力提供向心力，即$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$，該題難度不大，屬于基礎題．