Question

9．已知地球質量大約是月球質量的81倍，地球半徑大約是月球半徑的4倍．不考慮地球、月球自轉的影響，由以上數據可推算出（　�。�

• A． 地球的平均密度與月球的平均密度之比約為9：8
• B． 地球表面重力加速度與月球表面重力加速度之比約為81：16
• C． 近地球表面沿圓軌道運行的航天器的周期與近月球表面沿圓軌道運行的航天器的周期之比約為8：9
• D． 靠近地球表面沿圓軌道運行的航天器線速度與靠近月球表面沿圓軌道運行的航天器線速度之比約為9：2

Answer 1

分析 根據密度定義表示出密度公式，再通過已知量進行比較．
根據萬有引力等于重力表示出重力加速度．
根據萬有引力提供向心力，列出等式表示出周期和線速度，再通過已知量進行比較．

解答 解：A、根據密度公式，有ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$已知地球質量大約是月球質量的81倍，地球半徑大約是月球半徑的4倍，所以地球的平均密度與月球的平均密度之比約為81：64．故A錯誤．
B、根據萬有引力等于重力表示出重力加速度得得：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，得：g=$\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$，其中R為星球半徑，M為星球質量．所以地球表面重力加速度與月球表面重力加速度之比約為81：16．故B正確．
C、研究航天器做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=m$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}$，其中R為星球半徑，M為星球質量．
所以靠近地球表面沿圓軌道運行的航天器的周期與靠近月球表面沿圓軌道運行的航天器的周期之比約為8：9，故C正確．
D、研究航天器做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，其中R為星球半徑，M為星球質量，
所以靠近地球表面沿圓軌道運行的航天器線速度與靠近月球表面沿圓軌道運行的航天器線速度之比約為9：2，故D正確．
故選：BCD

點評 求一個物理量之比，我們應該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再進行之比．向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．