Question

16．如圖所示，兩足夠長的平行粗糙金屬導軌MN，PQ相距L=1m．導軌平面與水平面夾角為α=30°．導軌電阻不計．磁感應強度B₁=2T的勻強磁場垂直導軌平面向上，長L=1m的金屬棒ab垂直于MN，PQ放置在導軌上，兩者間的動摩擦因數μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，金屬棒的質量m₁=2kg，電阻R₁=lΩ，兩金屬棒導軌的上端連接右側電路．電路和中通過導線接一對水平放置的平行金屬板，兩板間的距離和板長增為d=0.5m，定值電阻R2=3Ω，將金屬棒由靜止釋放．重力加速度g取10m/s²，
（1）求金屬棒的最大加速度大小；
（2）求金屬棒最終的速度大小．
（3）當金屬棒穩定下滑時，在水平放置的平行金屬板間加一垂直紙面向里的勻強磁場B2=3T，在下板的右端且非常靠近下板的位置有一質量為m₂=1.5×10^-4kg．帶電量為q=-1×10^-4C的液滴以初速度v水平向左射入兩板間．該液滴可視為質點．要使帶電粒子能從金屬板間射出．初速度v應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）依據棒下滑切割磁感應線，產生感應電動勢，形成感應電流，從而出現安培阻力，導致棒向下做加速度減小的加速運動，剛釋放時，棒的加速度最大，依據牛頓第二定律，結合滑動摩擦力等于最大靜摩擦力，即可求解．
（2）分析金屬棒運動的過程，知道當金屬棒勻速運動時速度最大，根據力的平衡知識求解．
（3）在電容器中有一個隱含條件即重力和電場力上相等的，所以該液滴在兩平行金屬板間做勻速圓周運動，當液滴恰從上板左端邊緣射出和當液滴恰從上板右側邊緣射出兩種情況分析求解．

解答 解：（1）棒剛釋放時，沒有感應電流，不受安培阻力，則此時加速度最大，
依據牛頓第二定律，則有：m₁gsinα-μm₁gcosα=m₁a_max；
解得：a_max=gsinα-μgcosα=（10×0.5$-\frac{\sqrt{3}}{6}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$）m/s²=2.5m/s²；
（2）當金屬棒勻速運動時速度最大，設最大速度為v_m，（要注意安培力向上）
則有m₁gsin α=F_安+μm₁gcosα
F_安=ILB₁，I=$\frac{{B}_{1}L{v}_{m}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，
所以 解得最大速度v_m=5 m/s
（3）金屬棒勻速運動時，兩板間電壓U=IR₂=$\frac{5}{2}×3V$=$\frac{15}{3}V$，
因為液滴在兩板間有m₂g=q$\frac{U}p9vv5xb5$=1.5×10^-3N，
所以該液滴在兩平行金屬板間做勻速圓周運動，
當液滴恰從上板左端邊緣射出時：
r₁=d=$\frac{{m}_{2}{v}_{1}}{{B}_{2}q}$，解得v₁=1 m/s；
當液滴恰從上板右側邊緣射出時：r₂=$\fracp9vv5xb5{2}$=$\frac{{m}_{2}{v}_{2}}{{B}_{2}q}$，解得v₂=0.5 m/s，
初速度v應滿足的條件是：v≥1 m/s或v≤0.5 m/s．
答：（1）金屬棒的最大加速度大小2.5m/s²．
（2）金屬棒最終的速度大小5m/s；　
（3）初速度v應滿足的條件是：v≥1 m/s或v≤0.5 m/s．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導體棒的平衡問題，根據平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應現象中的能量轉化問題，根據動能定理、功能關系等列方程求解；對于帶電粒子在磁場中的運動情況分析，一般是確定圓心位置，根據幾何關系求半徑，結合洛倫茲力提供向心力求解未知量．