Question

5．水平放置的兩根足夠長的平行金屬導軌E、F間距L=2m，電阻忽略不計，處于磁感應強度大小B=1T豎直向上的勻強磁場中，質量均為m=0.8kg、電阻均為r=1Ω的P、Q兩金屬棒垂直導軌放置，導軌與金屬棒之間的動摩擦因數為μ=0.5，且兩者接觸良好．P、Q分別通過光滑的定滑輪用足夠長的輕繩連接質量為2m與m的兩物體A、B，輕繩的一端分別水平垂直連接P、Q．開始時固定住兩物體A、B，輕繩拉直但不張緊，整個裝置處于靜止狀態，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，其中g取10m/s²．
（1）若始終固定住B，自由釋放A，則A的最大速度是多少？
（2）若自由釋放A，當A的速度至少為多大時再釋放B，B才能下落？
（3）在（2）之后隨著A速度增大，B能不能繼續保持靜止？

Answer 1

分析 （1）根據切割感應電動勢，及閉合電路歐姆定律，及牛頓第二定律，再結合安培力表達式，即可求解；
（2）先確定Q受到摩擦力方向，再依據靜摩擦力最大時，安培力最小，結合安培力表達式，即可求解最小速度．
（3）隨著A速度增大，安培力增大，Q所受摩擦力先向左逐漸減小，當安培力等于8N時摩擦力為零，之后安培力增大，摩擦力方向為向右并逐漸增大，靜摩擦力最大時，安培力有最大值，而此時A正好達最大速度做勻速運動，速度不會再增加，故B能繼續保持靜止

解答 解：（1）若始終固定住B，自由釋放A，當A的運動速度為v時，P切割產生的電動勢E=BLv
感應電流為$I=\frac{BLv}{2r}$
則P棒受到的安培力為$F=BIL=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{2r}$
A向下做加速運動，$2mg-{F}_{T}^{\;}=2ma$
P向左做加速度大小相同的加速運動${F}_{T}^{\;}-μmg-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{2r}=ma$
可得：$2mg-μmg-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{2r}=3ma$
A向下（P向左）做加速度減小的加速運動，直至以最大速度做勻速運動
$2mg=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{v}_{m}^{\;}}{2r}+μmg$
得${v}_{m}^{\;}=6m/s$
（2）要使Q保持不下滑，Q所受摩擦力的方向水平向左，則F+f=mg
靜摩擦力最大時，安培力最小，最小值為F_min=4N；
由F=BIL=$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{2r}$，得對應的最小速度為v_min=2m/s
即當A速度為2m/s時釋放B，B才不下落．
（3）隨著A速度增大，安培力增大，Q所受摩擦力先向左逐漸減小，當安培力等于8N時摩擦力為零，之后安培力增大，摩擦力方向為向右并逐漸增大，F=mg+f
靜摩擦力最大時，安培力有最大值${F}_{max}^{\;}=12N$
對應的最大速度${v}_{max}^{\;}=6m/s$
而此時A正好達最大速度做勻速運動，速度不會再增加，故B能繼續保持靜止．
答：（1）若始終固定住B，自由釋放A，則A的最大速度是6m/s
（2）若自由釋放A，當A的速度至少為2m/s時再釋放B，B才能下落
（3）在（2）之后隨著A速度增大，B能繼續保持靜止

點評 本題考查力電綜合問題，掌握切割感應電動勢的求解方法，理解牛頓第二定律的應用，注意第2問，依據靜摩擦力最大時，來確定安培力最小，從而判定最小速度．