Question

13．兩個試管由一軟管聯通（如圖所示），左邊試管由一段長為24cm的水銀柱封住一段長為60cm、溫度為300K的氣體，這時水銀面距管側面小孔還有16cm，右邊空試管為防溢用．現有一控溫系統可以持續升高或降低氣體的溫度，當氣體溫度升高到一定值時水銀會從左邊試管溢到右邊的試管中．左邊試管固定不動，右邊的試管可以上下移動，上移時可使右邊試管中的水銀回流到左邊試管、從而控制左邊試管中水銀柱的高度．
（1）求穩定狀態下左邊試管中水銀面與小孔平齊時，氣體的溫度T與水銀柱高度x的關系式（取大氣壓強為76cmHg）；
（2）在答題紙的方格坐標中作出（1）中的氣體溫度T與水銀柱高度x的關系圖（要求縱坐標為T，橫坐標為x）；
（3）怎樣才能使左邊試管中只剩下4cm高的水銀柱、且水銀面恰好與小孔平齊？寫出具體操作步驟．

Answer 1

分析 （1）找出初、末態的參量，根據理想氣體狀態方程列式求解關系式；
（2）根據（1）中得到的關系式作出圖象；
（3）仍然結合（1）中的圖象，剩余水銀柱長度x=4cm時，對應的氣體溫度為T=384K，可以采用先升溫再降溫的方法達到目的．

解答 解：（1）初態：P₁=76+24（cmHg），V₁=60（cm•S），T=300K
試管中剩x（cm）高度的水銀柱時為末態，P₂=76+x，V₂=100-x，T₂待定，
則：$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{2}{V}_{2}}{{T}_{2}}$
聯立解得：T₂=$\frac{1}{20}$（76+x）（100-x）
（2）氣體溫度與留在試管中水銀柱高度的關系如圖所示，

關系式表明T₂存在極大值，當x=12cm時，T_2max=387.2K，為溫度的最大值，
（3）從圖中可以看出，剩余水銀柱長度為4cm，對應的氣體溫度為T₂=384K，使試管中只剩下4cm高的水銀柱的操作步驟如下：
①讓氣體的溫度由300K持續升高到388K，超過T_2max=387.2K，維持氣體溫度，水銀開始不斷溢出；
②當左側管中剩下的水銀柱高度小于4cm時，馬上讓氣體降溫，降低到T₂'＜384K，比如350K，此時，水銀上表面離管上小孔有一定距離；
③提高右邊的試管讓水銀回流，使左邊試管中的水銀柱高度達到4cm；然后再慢慢升高氣體的溫度，直到384K時，水銀面恰好與小孔平齊為止．
答：（1）穩定狀態下左邊試管中水銀面與小孔平齊時，氣體的溫度T與水銀柱高度x的關系式：T=$\frac{1}{20}$（76+x）（100-x）；
（2）氣體溫度T與水銀柱高度x的關系圖如圖所示；
（3）操作步驟如下：①讓氣體的溫度由300K持續升高到388K，超過T_2max=387.2K，維持氣體溫度，水銀開始不斷溢出；
②當左側管中剩下的水銀柱高度小于4cm時，馬上讓氣體降溫，降低到T₂'＜384K，比如350K，此時，水銀上表面離管上小孔有一定距離；
③提高右邊的試管讓水銀回流，使左邊試管中的水銀柱高度達到4cm；然后再慢慢升高氣體的溫度，直到384K時，水銀面恰好與小孔平齊為止．

點評 該題考查了氣體的狀態方程的應用，解題的關鍵是分析清楚氣體變化的過程，確定氣體的狀態，分析狀態參量，利用對應的氣體狀態方程進行求解．