Question

17．如圖所示，金屬導軌MNC和PQD，MN與PQ平行且間距為L，所在平面與水平面夾角為α，N、Q連線與MN垂直，M、P間接有阻值為R的電阻；光滑直導軌NC和QD在同一水平面內，與NQ的夾角都為銳角θ．均勻金屬棒ab和ef質量均為m，長均為L，ab棒初始位置在水平導軌上與NQ重合；ef棒垂直放在傾斜導軌上，與導軌間的動摩擦因數為μ（μ較小），由導軌上的小立柱1和2阻擋而靜止．空間有方向豎直的勻強磁場（圖中未畫出）．兩金屬棒與導軌保持良好接觸．不計所有導軌和ab棒的電阻，ef棒的阻值為R，最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，忽略感應電流產生的磁場，重力加速度為g．
（1）若磁感應強度大小為B，給ab棒一個垂直于NQ，水平向右的速度v₁，在水平導軌上沿運動方向滑行一段距離后停止，ef棒始終靜止，求此過程ef棒上產生的熱量；
（2）在（1）問過程中，ab棒滑行距離為d，求通過ab棒某橫截面的電荷量；
（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v₂在水平導軌上向右勻速運動，并在NQ位置時取走小立柱1和2，且運動過程中ef棒始終靜止．求此狀態下最強磁場的磁感應強度及此磁場下ab棒運動的最大距離．

Answer 1

分析 （1）根據能量的守恒，計算ef棒上產生的熱量；
（2）根據楞次定律和歐姆定律計算通過ab棒某橫截面的電量；
（3）根據法拉第電磁感應定律計算電動勢的大小，根據棒的受力計算最強磁場的磁感應強度及此磁場下ab棒運動的最大距離．

解答 解：（1）設ab棒的初動能為E_k，ef棒和電阻R在此過程產生的熱量分別為W和W₁，
有W+W₁=E_k…①
且W=W₁…②
由題有E_k=$\frac{1}{2}$mv₁²…③
得W=$\frac{1}{4}$mv₁²…④
（2）設在題設過程中，ab棒滑行時間為△t，掃過的導軌間的面積為△S，通過△S的磁通量為△Φ，ab棒產生的電動勢平均值為E，ab棒中的平均電流為I，通過ab棒某橫截面的電荷量為q，則有：
E=$\frac{△Φ}{△t}$…⑤
且△Φ=B△S…⑥
I=$\frac{q}{△t}$…⑦

又有I=$\frac{2E}{R}$…⑧
由圖1所示△S=d（L-dcotθ）…⑨
聯立⑤～⑨，解得：q=$\frac{2Bd（L-dcotθ）}{R}$…⑩
（3）ab棒滑行距離為x時，ab棒在導軌間的棒長L_x=L-2xcotθ⑪
此時，ab棒產生的電動勢E_x=Bv₂L_x…⑫
流過ef棒的電流I_x=$\frac{Ex}{R}$…⑬
ef棒所受安培力F_x=BI_xL…⑭
聯立⑪～⑭，解得F_x=$\frac{B2v2L}{R}$（L-2xcotθ）…⑮

由⑮式可得，F_x在x=0和B為最大值B_m時有最大值F₁．
由題知，ab棒所受安培力方向必水平向左，ef棒所受安培力方向必水平向右，使F₁為最大值的受力分析如圖2所示，圖中f_m為最大靜摩擦力，有
F₁cosα=mgsinα+μ（mgcosα+F₁sinα）…⑯
聯立⑮⑯，得B_m=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mg（sinα+μcosα）R}{（cosα-μsinα）{v}_{2}^{\;}}}$…⑰
⑰式就是題目所求最強磁場的磁感應強度大小，該磁場方向可豎直向上，也可豎直向下．

由⑮式可知，B為B_m時，F_x隨x增大而減小，x為最大x_m時，F_x為最小值F₂，如圖3可知
F₂cosα+μ（mgcosα+F₂sinα）=mgsinα…⑱
聯立⑮⑰⑱，得：x_m=$\frac{μLtanθ}{（1+{μ}_{\;}^{2}）sinαcosα+μ}$…⑲
答：（1）若磁感應強度大小為B，給ab棒一個垂直于NQ，水平向右的速度v₁，在水平導軌上沿運動方向滑行一段距離后停止，ef棒始終靜止，此過程ef棒上產生的熱量$\frac{1}{4}m{v}_{1}^{2}$；
（2）在（1）問過程中，ab棒滑行距離為d，通過ab棒某橫截面的電荷量$\frac{2Bd（L-dcotθ）}{R}$；
（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v₂在水平導軌上向右勻速運動，并在NQ位置時取走小立柱1和2，且運動過程中ef棒始終靜止．求此狀態下最強磁場的磁感應強度及此磁場下ab棒運動的最大距離$\frac{μLtanθ}{（1+{μ}_{\;}^{2}）sinαcosα+μ}$．

點評 本題是對法拉第電磁感應定律的考查，解決本題的關鍵是分析清楚棒的受力的情況，找出磁感應強度的關系式是本題的重點．