Question

5．一定質量的理想氣體被活塞封閉在豎直放置的圓形氣缸內，氣缸壁導熱良好，活塞可沿氣缸壁無摩擦地滑動．開始時氣體壓強為p，活塞下表面相對于氣缸底部的高度為h，外界的溫度為T，現取質量為M的沙子緩慢地倒在活塞的上表面，沙子倒完時，活塞下降了$\frac{h}{5}$，若此后外界的溫度變為T₀，求重新達到平衡后氣體的體積．已知外界大氣的壓強始終保持不變、重力加速度大小為g．

Answer 1

分析 氣體先發生等溫變化，然后再發生等壓變化，由玻意耳定律與蓋呂薩克定律求出氣體的體積．

解答 解：以封閉氣體為研究對象
初態：${p}_{1}^{\;}=p$         ${V}_{1}^{\;}=hS$
末態：${p}_{2}^{\;}=？$         ${V}_{2}^{\;}=\frac{4}{5}hS$
根據玻意耳定律，有${p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}={p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}$
$p•hS={p}_{2}^{\;}•\frac{4}{5}hS$
解得：${p}_{2}^{\;}=\frac{5}{4}p$
質量為M的沙子產生的壓強$\frac{5}{4}p-p=\frac{1}{4}p$
即$\frac{Mg}{S}=\frac{p}{4}$
解得：$S=\frac{4Mg}{p}$
外界的溫度變為${T}_{0}^{\;}$后，設活塞下表面相對于氣缸底部的高度為h′，根據蓋-呂薩克定律，得；
$\frac{\frac{4}{5}hS}{T}=\frac{h′S}{{T}_{0}^{\;}}$
解得：$h′=\frac{\frac{4}{5}h{T}_{0}^{\;}}{T}=\frac{4h{T}_{0}^{\;}}{5T}$
重新達到平衡時氣體的體積為$V=h′S=\frac{4h{T}_{0}^{\;}}{5T}×\frac{4Mg}{p}=\frac{16Mgh{T}_{0}^{\;}}{5pT}$
答：重新達到平衡后氣體的體積為$\frac{16Mgh{T}_{0}^{\;}}{5pT}$

點評 本題關鍵是運用力學知識分析氣體壓強如何變化，然后根據玻意耳定律定律及蓋-呂薩克定律列式求解．