Question

10．如圖所示，水平地面上固定有一半徑為R的半球面，P點位于半球面的斜上方，P、O之間的距離L=$\frac{\sqrt{13}}{2}$R，P到地面的高度H=$\frac{5}{4}$R．今在P與球面間架設(shè)整體上光滑的傾斜軌道PA，使質(zhì)點從P點由靜止開始沿PA在最短時間內(nèi)滑到球面上，則PA與豎直方向之間夾角θ應(yīng)滿足（　　）

• A． tanθ=3$\sqrt{3}$
• B． tanθ=1
• C． tanθ=$\sqrt{3}$
• D． tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 以PB所在的直線選取適當(dāng)?shù)拈L度為直徑作圓，與⊙O相較于A點，該圓為“等時圓”；通過幾何關(guān)系求解該圓的半徑與R的關(guān)系，即可得到θ角的大小，由此求解正切值．

解答 解：如圖所示，以P為最高點，作一個半徑為r的豎直平面內(nèi)的輔助圓，通過P點向圓上引一條弦，該弦與豎直方向的夾角為α，

則質(zhì)點在光滑斜直軌道上的加速度為a=$\frac{mgcosα}{m}=gcosα$，
下滑的時間為t，則：2rcosα=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$ 
由以上兩式得質(zhì)點從P點由靜止開始滑到圓上的時間為t=$\sqrt{\frac{4r}{g}}$，即t與α無關(guān)，與$\sqrt{r}$成正比；
作出以P為圓的最高點，相切于半球面A點的輔助圓，如圖所示，則PA為最短時間的斜直軌道；
設(shè)輔助圓的半徑為r，則有cosβ=$\frac{H-r}{R+r}$，
在△OPO′中，有：L²=（R+r）²+r²-2（R+r）rcos（π-β），
由以上兩式得$r=\frac{1}{2}R$，
解得β=60°，則θ=$\frac{1}{2}$β=30°      
tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以D正確、ABC錯誤．
故選：D．

點評 本題主要是考查“等時圓”的問題．正確的建立“等時圓”是解答此類問題的關(guān)鍵；注意余弦定理在本題中的應(yīng)用．