Question

2．某行星繞太陽做勻速圓周運動，已測得行星繞太陽公轉的軌道半徑為r，公轉周期為T，已知行星半徑R，表面重力加速度為g，行星質量m，求：
（1）萬有引力常量G．
（2）太陽的質量M．

Answer 1

分析 （1）在行星表面，在不考慮自轉的情況下，物體的重力等于萬有引力，由此求解；
（2）行星繞太陽做勻速圓周運動，由太陽的萬有引力提供向心力，根據萬有引力等于向心力列式求解即可．

解答 解：（1）行星表面的重力由萬有引力提供，對于質量為m₀的物體，得：
$\frac{Gm{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$
所以萬有引力常量：G=$\frac{g{R}^{2}}{m}$
（2）行星繞太陽運動的向心力由萬有引力提供，則：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
所以：M=$\frac{{4{π^2}{r^3}m}}{{g{R^2}{T^2}}}$
答：（1）萬有引力常量是$\frac{g{R}^{2}}{m}$．
（2）太陽的質量是$\frac{{4{π^2}{r^3}m}}{{g{R^2}{T^2}}}$．

點評 本題關鍵是明確做勻速圓周運動的物體的向心力來源，根據牛頓第二定律列式求解，同時要注意在行星表面，重力等于萬有引力．