Question

7．玻璃材料制成的一棱鏡的截面圖如圖所示，一細光束從$\frac{1}{4}$圓弧AB的中點E沿半徑射入棱鏡后，恰好在圓心O點發生全反射，經CD面反射，再從圓弧的F點射出．己知OA=a，OD=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$a．求：
①F點的出射光線與法線的夾角；
②光在棱鏡中傳播的時間．

Answer 1

分析 ①先作出光路圖，根據幾何關系得出臨界角，由全反射臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出折射率n．由幾何知識求得光線在F點的入射角，由折射定律求解出射光線與法線夾角．
②光在棱鏡中的傳播速度v=$\frac{c}{n}$．由幾何知識求出光線在棱鏡中傳播的距離S，由t=$\frac{S}{v}$求解傳播的時間．

解答 解：①作出光路圖如圖．

根據幾何關系可知，臨界角為 C=∠EOB=45°
根據全反射臨界角公式 sinC=$\frac{1}{n}$得：n=$\sqrt{2}$
又OG=$\sqrt{2}$OD=$\frac{1}{2}$a
根據幾何關系可知△OGF是直角三角形，則 sinα=$\frac{OG}{OF}$=$\frac{1}{2}$
根據折射定律得 n=$\frac{sinβ}{sinα}$
解得，F點的出射光線與法線的夾角 β=45°
②光在棱鏡中的傳播速度 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{c}{\sqrt{2}}$
由幾何知識得，光線傳播的距離為  S=a+$\frac{1}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a
光在棱鏡中傳播的時間 t=$\frac{S}{v}$=$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）a}{2c}$
答：①F點的出射光線與法線的夾角是45°；
②光在棱鏡中傳播的時間是$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）a}{2c}$．

點評 本題的突破口是“光線恰好在圓心O點發生全反射”，根據全反射臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$、折射定律n=$\frac{sini}{sinr}$、光速公式v=$\frac{c}{n}$相結合進行處理．分析時，要靈活幾何知識求解相關角度和光傳播的距離，要加強這方面的訓練．