Question

5．如圖所示，在磁感應強度為B的水平方向的勻強磁場中豎直放置兩平行導軌，磁場方向與導軌所在平面垂直．導軌上端跨接一阻值為R的電阻（導軌電阻不計）．兩金屬棒a和b的電阻均為R，質量分別為m_a=2×10^-2kg和m_b=1×10^-2kg，它們與導軌相連，并可沿導軌無摩擦滑動．閉合開關S，先固定b，用一恒力F向上拉a，穩定后a以v₁=10m/s的速度勻速運動，此時再釋放b，b恰好能保持靜止，設導軌足夠長，取g=10m/s²．
（1）求拉力F的大小；
（2）若將金屬棒a固定，讓金屬棒b自由下滑（開關仍閉合），求b滑行的最大速度v₂；
（3）若斷開開關，將金屬棒a和b都固定，使磁感應強度從B隨時間均勻增加，經0.1s后磁感應強度增到2B時，a棒受到的安培力正好等于a棒的重力，求兩金屬棒間的距離h．

Answer 1

分析 （1）固定b時，恒力F使a做加速度減小的加速運動，當重力等于安培力時a的速度達到穩定，而此進b又能自然靜止．對兩棒來說均有一個平衡方程，聯立方程就能求得拉力F的大小．
（2）a固定，讓b自由下滑，同樣b做加速度減小的加速運動，當其重力等于安培力時，速度達到最大．由平衡方程以及第一問的代換關系就能求出b的最大速度．
（3）兩棒均固定，讓磁感應強度在一定時間內加倍，且a的重力等于安培力，由法拉第電磁感應定律表示感應電流、安培力式子代入上述等量關系，就能求出兩者距離．

解答 解：（1）a棒勻速運動，則：F=m_ag+BI_aL     ①
  b棒靜止，則：m_bg=BI_bL      ②
  而：${I}_{b}=\frac{{I}_{a}}{2}$       ③
  聯立以上幾式得：F=0.4N
 （2）當a棒以v₁ 的速度勻速運動時，a棒的電流：
    ${I}_{a}=\frac{BL{v}_{1}}{R+\frac{R}{2}}$  
  b棒恰好保持靜止，由以上幾式有：${m}_{b}g=B\frac{\frac{BL{v}_{1}}{R+\frac{R}{2}}}{2}L$      ④
  當a棒靜止b棒下滑至勻速時，${I}_{b}′=\frac{BL{v}_{2}}{R+\frac{R}{2}}$            ⑤
  由平衡條件有：m_bg=BI_b′L                  ⑥
  聯立以上幾式可得：${v}_{2}=\frac{{v}_{1}}{2}$=5m/s  
  （3）由法拉第電磁感應定律：$E=\frac{△∅}{△t}=\frac{△B}{△t}S=\frac{BLh}{t}$     ⑦
      $I″=\frac{E}{2R}$      ⑧
由題意有：m_ag=2BI″L    ⑨
聯立⑦⑧⑨得：$h=\frac{{v}_{1}t{m}_{a}}{3{m}_{b}}$   
代入數據得：h=0.67m．
答：（1）拉力F的大小為0.4N．
（2）將金屬棒a固定，讓金屬棒b自由下滑（開關仍閉合），求b滑行的最大速度為5m/s．
（3）斷開開關，將金屬棒a和b都固定，使磁感應強度從B隨時間均勻增加，經0.1s后磁感應強度增到2B時，a棒受到的安培力正好等于a棒的重力，兩金屬棒間的距離為0.67m．

點評 本題有三個不同的過程，但均有一個平衡方程，用法拉第電磁感應定律、歐姆定律、并聯電路電流關系表示出安培力式子，代入平衡方程就能求得結果．但要說明的是雖然題目中沒告訴磁感應強度B和導軌寬度L，但兩者的積當作一個量，最后可以消去．