Question

10．如圖甲所示，空間存在一有界的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里，在光滑絕緣水平面內有一邊長為L的單匝正方形金屬線框，其質量m=1kg、電阻r=1Ω，線框平面與磁場垂直，在水平向左的外力F作用下，線框自t=0時刻以v₀=4m/s的向右初速度進入磁場，0-2s時間內在磁場中作勻減速直線運動，外力F大小隨時間t變化的圖線如圖乙所示，求：
（1）線框運動的加速度a及邊長L的長度分別是多少？
（2）勻強磁場的磁感應強度B是多少？
（3）線框進入磁場的過程中，通過線框的電荷量q的值是多少？

Answer 1

分析 顯然線圈進入磁場分兩個階段：①還未完全進入磁場，有一條邊切割磁感線，由于速度的減小，感應電動勢、感應電流、安培力均減小，所以外力增大，圖乙表示的是增大．由牛頓第二定律、勻減速直線運動速度與時間的關系、可以相應寫出表達式，將t=0代入可以求出結果．②完全進入磁場后，由圖乙可以看出外力變為恒力，產生的加速度從而能求出來．
（1）當t=1s---2s時，外力為恒力，產生加速度，由牛頓第二定律直接求出加速度，再從線圈進入磁場時，由位移與時間的關系可以求出線框的邊長．
（2）取剛進入磁場的線圈為研究對象，由牛頓第二定律算出安培力，從而也求出了磁感應強度．
（3）線圈勻減速進入磁場，由于速度減小，感應電流也減小，只能用平均值的方法求通過線圈的電量．

解答 解：（1）由圖乙知道，t=1s---2s時，F=2N，線圈做勻減速直線運動，
   由牛頓第二定律得：F=ma    ①
  將數據代入得：a=2m/s²．
  t=0----1s  時，由運動學公式：$L={v}_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$     ②
  代入得：L=3m．
（2）在線圈進入磁場，即t=0s時，由牛頓第二定律：
      F+BIL=ma     ③
    而$I=\frac{BL{v}_{0}}{r}$      ④
將F=1N、L=3m、a=2m/s²  代入得：B=0.167T．
（3）線圈勻減速進入磁場，通過線圈的電量：
    $q=\overline{I}△t=\frac{\overline{E}}{r}△t=\frac{\frac{△∅}{△t}}{r}△t=\frac{△∅}{r}=\frac{B{L}^{2}}{r}$=$\frac{0.167×{3}^{2}}{1}C$=1.5C
答：（1）線框運動的加速度為2m/s²，邊長L的長度是3m．
（2）勻強磁場的磁感應強度為0.167T．
（3）線框進入磁場的過程中，通過線框的電荷量q的值為1.5C．

點評 本題的靚點是線圈勻減速直線運動進入磁場，顯然進入過程的外力是變力，當全部進入磁場后外力變為恒力，從恒力這種簡單情況出發，先求出加速度、邊長；另外找關鍵點也很重要，剛進入瞬間由圖象知外力已知，由牛頓第二定律列出此刻的方程就能解得磁感應強度．