Question

2．如圖所示，兩根不計電阻的光滑傾斜平行導軌與水平面的夾角θ=37°，底端接電阻R=1.2Ω．在兩根導軌所在的平面內建立xOy的坐標系．在x方向0-12m的范圍內的曲線方程為y₁=sin$\frac{π}{12}$xm，12m到36m的范圍內的曲線方程為y₂=-2sin$\frac{π（x-12）}{24}$m，曲線與x軸所圍空間區域存在著勻強磁場，磁感應強度B=0.5T，方向垂直與導軌平面向上．金屬棒ab的質量為m=0.2kg，電阻r=0.8Ω，垂直擱在導軌上，在平行于x軸方向的外力F作用下以v=4m/s的速度沿斜面勻速下滑．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）當金屬棒ab通過x=6m位置時的外力F的瞬時功率．
（2）金屬棒ab通過磁場的過程中電阻R上產生的焦耳熱．
（3）金屬棒ab通過磁場的過程中外力F所做的功．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感應電動勢，根據安培力公式求出安培力，由受力平衡求出外力F的大小，根據P=Fv得外力F的瞬時功率；
（2）先求出電流的有效值，根據焦耳定律求金屬棒ab通過磁場的過程中電阻R上產生的焦耳熱
（3）由動能定理可以求出金屬棒ab通過磁場的過程中外力F所做的功

解答 解：（1）金屬棒作切割磁感線運動，產生感應電動勢為E，則E=BLv
由曲線方程可知x=6m處棒的有效長度為${l}_{0}^{\;}$=1m
此時的電流${I}_{0}^{\;}=\frac{{E}_{1}^{\;}}{R+r}$         安培力${F}_{0}^{\;}=B{I}_{0}^{\;}{l}_{0}^{\;}$
由受力分析可知：$mgsinθ=F+{F}_{0}^{\;}$
解得：F=0.7N（方向沿斜面向上）
故此時，外力的功率大小為P=FV=2.8W
（2）在x方向0-12m范圍
感應電動勢最大值${e}_{1}^{\;}=B{y}_{1}^{\;}v$    
感應電流最大值   $i=\frac{{e}_{1}^{\;}}{R+r}$    
感應電流有效值 ${I}_{1}^{\;}=\frac{{i}_{1m}^{\;}}{\sqrt{2}}$     
運動時間 ${t}_{1}^{\;}=\frac{{x}_{1}^{\;}}{v}$   
焦耳熱  ${Q}_{1}^{\;}={I}_{1}^{2}R{t}_{1}^{\;}$
在x方向12-36m范圍
感應電動勢最大值${e}_{2}^{\;}=B{y}_{2}^{\;}v$ 
感應電流最大值  ${i}_{2}^{\;}=\frac{{e}_{2}^{\;}}{R+r}$ 
感應電流有效值  ${I}_{2}^{\;}=\frac{{i}_{2m}^{\;}}{\sqrt{2}}$ 
運動時間  ${t}_{2}^{\;}=\frac{{x}_{2}^{\;}}{v}$
焦耳熱   ${Q}_{2}^{\;}={I}_{2}^{2}R{t}_{2}^{\;}$
總焦耳熱Q=Q₁+Q₂  
=$（\frac{B{y}_{1}^{\;}v}{\sqrt{2}（R+r）}）_{\;}^{2}R\frac{{x}_{1}^{\;}}{v}$+$（\frac{B{y}_{2}^{\;}v}{\sqrt{2}（R+r）}）_{\;}^{2}R\frac{{x}_{2}^{\;}}{v}$
=$（\frac{0.5×1×4}{\sqrt{2}（1.2+0.8）}）_{\;}^{2}×1.2×\frac{12}{4}$+$（\frac{0.5×2×4}{\sqrt{2}（1.2+0.8）}）_{\;}^{2}×1.2×\frac{36-12}{4}$
Q=16.2J
（3）金屬棒通過磁場過程中，重力做功${W}_{G}^{\;}=mgsinθX$=43.2J
安培力做功W_安=-$-{Q}_{總}^{\;}=-\frac{Q（R+r）}{R}$=-27J
對金屬棒通過磁場過程用動能定理有：${W}_{G}^{\;}+{W}_{F}^{\;}+W=0$
解得：${W}_{F}^{\;}$=-16.2J
答：（1）當金屬棒ab通過x=6m位置時的外力F的瞬時功率2.8W．
（2）金屬棒ab通過磁場的過程中電阻R上產生的焦耳熱16.2J．
（3）金屬棒ab通過磁場的過程中外力F所做的功-16.2J

點評 本題考查了動能定理、串聯電路、閉合電路的歐姆定律、電功、電功率、電磁感應現象、感應電動勢．正弦交流電、交流電的最大值與有效值．綜合性較強，對學生能力要求較高，需加強訓練．