Question

10．宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球．經過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L．若拋出時的初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為$\sqrt{3}$L．已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數為G．則該星球的重力加速度和質量分別為$\frac{2\sqrt{3}L}{3{t}^{2}}$和$\frac{2\sqrt{3}L{R}^{2}}{3G{t}^{2}}$．

Answer 1

分析 根據平拋運動的規律，知初速度增大到2倍，則水平位移也增大2倍，結合幾何關系求出小球落地的高度，通過平拋運動豎直方向上的運動規律求出重力加速度的大小，結合萬有引力等于重力求出星球的質量M．

解答 解：設拋出點的高度為h，第一次平拋運動的水平位移為x，則${h}_{\;}^{2}+{x}_{\;}^{2}={L}_{\;}^{2}$①
若拋出的初速度為2倍時，則水平位移為2x   因此有：$\sqrt{（2x）^{2}+{h}^{2}}=\sqrt{3}L$     ②
設該星球表面的重力加速度為g，則$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$；③
聯立①②③得：h=$\frac{L}{\sqrt{3}}$；x=$\sqrt{\frac{2}{3}}L$；g=$\frac{2\sqrt{3}L}{3{t}^{2}}$
根據星球表面物體重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$=$M=\frac{g{R}_{\\;}^{2}}{G}=\frac{2\sqrt{3}L{R}_{\\;}^{2}}{3G{t}_{\\;}^{2}}$
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}L}{3{t}^{2}}$；$\frac{2\sqrt{3}L{R}^{2}}{3G{t}^{2}}$

點評 本題綜合考查了平拋運動和萬有引力的綜合，知道平拋運動在水平方向上和豎直方向上的運動規律，以及掌握萬有引力等于重力這一理論，并能靈活運用．