Question

8．如圖，半徑R=1m的光滑半圓軌道AC與傾角θ=37°的粗糙斜面軌道BD放在同一豎直平面內，兩軌道之間由一條光滑水平軌道AB相連，B處用光滑小圓弧平滑連接．在水平軌道上，用擋板把a、b兩物塊間的輕質彈簧擋住后處于靜止狀態，物塊與彈簧不拴接．只放開左側擋板，物塊a恰好通過半圓軌道最高點C；只放開右側擋板，物塊b恰好能到達斜面軌道最高點D．已知物塊a的質量為m₁=2kg，物塊b的質量為m₂=1kg，物塊與斜面間的動摩擦因數為μ=0.5，物塊到達A點或B點時已和彈簧分離．重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）物塊a經過半圓軌道的A點時對軌道的壓力F_N；
（2）斜面軌道BD的高度h．

Answer 1

分析 （1）物塊a恰好能通過半圓軌道最高點C，由重力充當向心力，由向心力公式可得出小球a在C點的速度，由機械能守恒可得出a球經過A點的速度．在C點，根據合力提供向心力，求軌道對a球的支持力，從而得到a球對軌道的壓力F_N．
（2）釋放彈簧a被彈出的過程，由機械能守恒可得出彈簧的彈性勢能．再對b，由能量守恒定律求斜面軌道BD的高度h．

解答 解：（1）a物塊在最高點C時，有 m₁g=m₁$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$  ①
a物塊從A點運動到C點過程，由能量守恒定律得
   $\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{A}^{2}$=2m₁gR+$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{C}^{2}$   ②
a物塊到達圓軌道A點時，F_支-m₁g=m₁$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$ ③
由牛頓第三定律，物塊對小球的壓力F_N=F_支  ④
由①②③④得，物塊對小球的壓力 F_N=120N
（2）a物塊彈開后運動到A點過程，由系統的機械能守恒得：
彈簧的彈性勢能 E_p=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{A}^{2}$
對b物塊，由能量守恒定律得，E_p=m₂gh+μm₂gcosθ•$\frac{h}{sinθ}$
解得斜面軌道BD的高度 h=3m
答：
（1）物塊a經過半圓軌道的A點時對軌道的壓力F_N是120N．
（2）斜面軌道BD的高度h是3m．

點評 解決本題的關鍵：一要明確小球a到達圓軌道最高點的臨界條件：重力充當向心力．二要明確有摩擦時往往運用動能定理或能量守恒定律求高度．