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4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦點為F（-1，0），O為坐標原點，點$G（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$在橢圓上，過點F的直線l交橢圓于不同的兩點 A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求弦AB的中點M的軌跡方程．

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3．

已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$的離心率為$e=\frac{1}{2}$，直線x+2y-1=0經過橢圓的一個焦點；
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點F的直線l（與坐標軸均不垂直）交橢圓于A、B兩點，點B關于x軸的對稱點為P；問直線AP是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．

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2．函數f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$，若曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線與直線e²x-y+e=0垂直（其中e為自然對數的底數）．
（1）求f（x）的單調區間和極值．
（2）求證：當x＞1時，$\frac{f（x）}{e+1}$＞$\frac{2{e}^{x-1}}{（x+1）（x{e}^{x}+1）}$．

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1．已知函數f（x）=xe^x-5．
（1）試求函數f（x）的單調區間及最值
（2）設函數g（x）=|f（x-3）+5|，若方程[g（x）]²+tg（x）+1=0（t∈R）有四個實數根，求t的取值范圍．

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20．

如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：$\sqrt{2}$．
（1）若AD=$\frac{1}{2}$BC，求直線CD與平面PAB所成角的大小；
（2）設PD=a，且二面角A-PB-C的大小為$\frac{π}{3}$，求AD長．

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19．

在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是正方形，CE⊥平面ADE且CE=EF=2，F是線段DE的中點．
（I）求證：平面BCF⊥平面CDE；
（II）求二面角A-BF-E的平面角的正弦值．

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18．

如圖四邊形ABCD是邊長為2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且NB=MD=2，E為BC的中點．
（I）求異面直線NE與AM所成角的余弦值；
（II）求二面角N-AM-D的余弦值．

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17．已知函數f（x）=lnx，$g（x）=-\frac{a}{x}+\frac{3}{2}（a＞0）$
（1）當a=1時，若曲線y=f（x）在點M（x₀，f（x₀））處的切線與曲線y=g（x）在點P（x₀，g（x₀））處的切線平行，求實數x₀的值；
（2）若?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），求實數a的取值范圍．

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16．設函數f（x）=sinx-cosx+x+1．
（Ⅰ）當x∈[0，2π]，求函數f（x）的單調區間與極值；
（Ⅱ）若函數y=f（x）-ax在[0，π]上是增函數，求實數a的取值范圍．

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15．已知函數f（x）=x²-ax+lnx（a∈R）．
（1）若函數f（x）在x=1處取得極小值，求函數f（x）的極大值；
（2）若x∈（0，e]時，函數f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍．

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