Question

17．已知函數f（x）=lnx，$g（x）=-\frac{a}{x}+\frac{3}{2}（a＞0）$
（1）當a=1時，若曲線y=f（x）在點M（x₀，f（x₀））處的切線與曲線y=g（x）在點P（x₀，g（x₀））處的切線平行，求實數x₀的值；
（2）若?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=1導入解析式，并求出f′（x）和g′（x），根據切線平行對應的斜率相等列出方程，求出x₀的值；
（2）根據條件設F（x）=f（x），再把條件進行轉化，求出對應的解析式和導數，求出臨界點，并根據導數與函數單調性的關系列出表格，再對a進行分類討論，分別判斷出函數的單調性，再求出對應的最小值，列出不等式求出a的范圍．

解答 解：（1）把a=1代入得，g（x）=-$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{2}$，
則f′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在點M （x₀，f（x₀））處的切線與
g（x）在點P （x₀，g（x₀））處的切線平行，
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，解得x₀=1，
∴x₀=1，
（2）由題意設F（x）=f（x）-g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-$\frac{3}{2}$，
∵?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），
∴只要F（x）在（0，e]上的最小值大于等于0即可，
則F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，由F′（x）=0得，x=a，
F（x）、F′（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	遞減	極大值	遞增

當a≥e時，函數F′（x）在（0，e）上單調遞減，F（e）為最小值，
∴F（e）=1+$\frac{a}{e}$-$\frac{3}{2}$≥0，得a$≤\frac{e}{2}$，∴a≥e
當a＜e時，函數F（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，e）上單調遞增，
則F（a）為最小值，所以F（a）=lna+$\frac{a}{a}$-$\frac{3}{2}$，得a≥$\sqrt{e}$
∴$\sqrt{e}$≤a＜e，
綜上所述，a≥$\sqrt{e}$．

點評 本題考查了導數的幾何意義，導數與函數單調性的關系，以及恒成立問題的轉化，分類討論思想，考查了分析問題和解決問題的能力．