Question

△ABC中，

AD

=

1

4

AB

，DE∥BC，且邊AC相交于E，△ABC的中線AM與DE相交于N，如圖所示，設

AB

=

a

，

AC

=

b

（1）試用

a

和

b

表示

DN

．
（2）若|

a

|=4，|

b

|=2，且∠BAC=60°，求

|DN

|．

Answer 1

分析：（1）由于DE∥BC又AM為中線，根據三角形中位線定理得

DN

=

1

2

DE

，又

AD

=

1

4

AB

從而有：

DN

=

1

8

BC

，再利用向量的減法的三角形法則得到

BC

=

AC

-

AB

即可得到結論；
（2）由（1）知 

DN

=

1

8

(

b

-

a

)，由于|

a

|=4，|

b

|=2，∠BAC=600根據向量模的平方等于向量的平方得|

DN

|2，從而求得

|DN

|．

解答：解：（1）∵DE∥BC又AM為中線，
∴

DN

=

1

2

DE

…（1分）
又

AD

=

1

4

AB

，
∴

DE

=

1

4

BC

∴

DN

=

1

8

BC

…（4分）
而

BC

=

AC

-

AB

且

AB

=

a

，

AC

=

b

，
∴

DN

=

1

8

(

b

-

a

)．…（6分）
（2）由（1）知 

DN

=

1

8

(

b

-

a

)
∵|

a

|=4，|

b

|=2，∠BAC=600
∴|

DN

|2=

1

64

(

b

2+

a

2-2

b

•

a

)=

1

64

(4+16-8)=

3

16

…(10分)
∴

|DN

|=

3

4

．

點評：本題考查向量的幾何表示，三角形相似的性質，向量的共線定理，向量的模，平面向量基本定理，體現了數形結合的數學思想．