Question

 在△ABC中，AD是BC邊上的高，垂足為D點．BE是∠ABC的角平分線，并交AC于E點．若BC=6，CA=7，AB=8．
（1）求DE的長；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據BE為角平分線，利用角平分線定理列出比例式，根據CA長求出CE與EA長，設CD為x，在直角三角形ACD與直角三角形ABD中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，過E作EF垂直于CD，求出CF與FD的長，進而求出EF的長，即可求出ED的長；
（2）利用余弦定理表示出cos∠ABC，將三角形三邊長代入求出cos∠ABC的值，由∠ABC為三角形的內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sin∠ABC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵BE為∠ABC的角平分線，
∴CE：EA=BC：BA=6：8，
∵CA=CE+EA=7，
∴CE=3，EA=4，
設CD=x，根據勾股定理得到CA²-x²=AD²=AB²-BD²，即49-x²=64-（6-x）²，
解得：x=

7

4

，
過E作EF⊥CD，可得CF：FD=CE：EA=3：4，CF+FD=CD=

7

4

，
∴CF=

3

4

，FD=1，
在Rt△CEF中，根據勾股定理得：EF=

CE2-CF2

=

9- 9 16

=

135

4

，
在Rt△EFD中，根據勾股定理得：ED=

EF2+FD2

=

151

4

；
（2）∵BC=6，CA=7，AB=8，
∴cos∠ABC=

64+36-49

2×6×8

=

51

96

，
∵∠ABC為三角形的內角，
∴sin∠ABC=

1-( 51 96 )2

=

6615

96

=

3 735

96

，
則S_△ABC=

1

2

BC•AB•sin∠ABC=

3 735

4

．

點評：此題屬于解三角形題型，涉及的知識有：勾股定理，角平分線定理，同角三角函數間的基本關系，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．