Question

如圖，在直角三角形ABC中，AD是斜邊BC上的高，有很多大家熟悉的性質，例如“AB⊥AC”，勾股定理“|AB|²+|AC|²=|BC|²”和“

1

|AD|2

=

1

|AB|2

+

1

|AC|2

”等，由此聯想，在三棱錐O-ABC中，若三條側棱OA，OB，OC兩兩互相垂直，可以推出哪些結論？至少寫出兩個結論．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是類比推理，在由平面幾何的性質類比推理空間立體幾何性質時，我們常用的思路是：由平面幾何中點的性質，類比推理空間幾何中線的性質；由平面幾何中線的性質，類比推理空間幾何中面的性質；由平面幾何中面的性質，類比推理空間幾何中體的性質；故由：“直角三角形中，直角邊邊長為a，b，斜邊邊長為c，直角三角形具有性質：c²=a²+b²．”（邊的性質），類比到空間可得的結論是“在直角三棱錐中，直角面面積分別為S₁，S₂，S₃，斜面面積為S”，S₁²+S₂²+S₃²=S²

解答：解：（以下僅供參考，不同結論請酌情給分．每個正確結論給（2分），證明給5分）  可以得出有以下結論：
（Ⅰ）三個側面OAB、OAC、OBC兩兩互相垂直（或OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB）
（Ⅱ）

1

OH2

=

1

OA2

+

1

OB2

+

1

OC2

（H為△ABC的重心）
（Ⅲ）S_△OAB²+S_△OAB²+S_△OBC²=S_△ABC²
以下給出具體的證明：
（1）證明：∵OA⊥OC，OB⊥OC∴OC⊥平面OAB
∴平面OAC⊥平面OAB  平面OBC⊥平面OAB 同理可證平面OBC⊥平面OAC

（2）證明：如圖連接AH并延長AH交BC于D連接OD
∵OA⊥面OBC∴OA⊥OD
在Rt△ABC中∵OH⊥AD∴OH•AD=AO•OD
∴OH²•AD²=AO²•OD²
又∵AD²=OA²+OD²∴

1

OH2

=

1

OA2

+

1

OD2

∵AD⊥BC，由三垂線定理得：BC⊥OD
∴在Rt△OBC中  OD²•BC²=BO²•CO²
∴OD²=

BO2•CO2

BC2

又∵BC²=BO²+CO²
∴

1

OD2

=

1

BO2

+

1

CO2

②由①②得：

1

OH2

=

1

OA2

+

1

OB2

+

1

OC2

（Ⅳ） 證明：如圖（延用（Ⅸ）中的字母a，b，c）∵H為垂心∴AD⊥BC
又∵OA、OB、OC兩兩垂直∴S_△OAB=

1

2

ab   S_△OBC=

1

2

bc  S_△OAC=

1

2

ac  
S_△ABC=

1

2

BC•AD
∴S_△OAB²+S_△OAC²+S_△OBC²=

1

4

（ a² b²+b² c²+a² c²）=

1

4

a²（b²+c²）+

1

4

b² c²…①
又∵在Rt△BOC中，OD⊥BC∴OB²•OC²=b² c²=OD²•BC²=OD²•（b²+c²）…②
∴②代入①得：S_△OAB²+S_△OBC²+S_△OAC²=

1

4

（b²+c²）•AD²=

1

4

BC²•AD²=S_△ABC²

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．在由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質．