Question

4．某小區提倡低碳生活，環保出行，在小區提供自行車出租．該小區有40輛自行車供小區住戶租賃使用，管理這些自行車的費用是每日92元，根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過5元，則自行車可以全部出租，若超過5元，則每超過1元，租不出的自行車就增加2輛，為了便于結算，每輛自行車的日租金x元只取整數，用f（x）元表示出租自行車的日純收入（日純收入=一日出租自行車的總收入-管理費用）
（1）求函數f（x）的解析式及其定義域；
（2）當租金定為多少時，才能使一天的純收入最大？

Answer 1

分析 （1）利用函數關系建立各個取值范圍內的凈收入與日租金的關系式，寫出該分段函數，是解決該題的關鍵，注意實際問題中的自變量取值范圍；
（2）利用一次函數，二次函數的單調性解決該最值問題是解決本題的關鍵．注意自變量取值區間上的函數類型．應取每段上最大值的較大的即為該函數的最大值．

解答 解：（1）由題意：當0＜x≤5且x∈N^*時，f（x）=40x-92  …（1分）
當x＞5且x∈N^*時，f（x）=[40-2（x-5）]x-92=-2x²+50x-92 …（3分）
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}40x-92（0＜x≤5且x∈{N^*}）\\-2{x^2}+50x-92（5＜x≤40且x∈{N^*}）\end{array}\right.$…（5分）
其定義域為{x|x∈N^*且x≤40}…（6分）
（2）當0＜x≤5且x∈N^*時，f（x）=40x-92，
∴當x=5時，f（x）_max=108（元）                    …（8分）
當x＞5且x∈N^*時，f（x）=-2x²+50x-92=-2（x-$\frac{25}{2}$）²+$\frac{541}{2}$
∵開口向下，對稱軸為x=$\frac{25}{2}$，
又∵x∈N^*，∴當x=12或13時f（x）_max=220（元）              …（10分）
∵220＞108，∴當租金定為12元或13元時，一天的純收入最大為220元                       …（12分）

點評 本題考查學生的函數模型意識，注意分段函數模型的應用．將每一段的函數解析式找準相應的函數類型，利用相關的知識進行解決．